Nora Math 2013-04-28
Bsp. 35
Maximale Fläche von Grundstück mit 2 runden Ohrwaschln, Abmessungen a,b Zaunlänge = 50m - Umfang U Fläche F.
Einsetzen von [1] in die obige Formel von F und nach ein paar Umformungen von open-axiom (freies Algebra Programm)
Nach a ableiten
In dieser Form kommt a linear vor, darum gibt es nur eine Lösung, bei der diese Ableitung 0 ist.
Das ist eigentlich schon das Ende - für jene, die Zahlen wollen:
a = 14.0190...
Eine wichtige Frage ist allerdings noch, ob diese (eine) Lösung ein Maximum, ein Minimum oder ein Sattelpunkt ist!
Am einfachsten geht das durch Argumentation: Extremwerte gibt es dort, wo die Ableitung Null ist und am Rand. Je nach Sichtweise, hat diese Aufgabe keinen Rand (!), denn es funktioniert im ganzen . So gesehen gibt es keinen Rand, für jene, die sich keine negativen Längen und keine negativen Flächen vorstellen können - ist der Rand bei 0.
Die Fläche ist 0, falls a=0 oder wenn b=0 ist. Falls man bei 0 einen "Rand" wahrnimmt, dann ist die Fläche am Rand gleich 0 - also sehr klein (Achtung nicht negativ - negative Zahlen sind kleiner).
Für alle anderen Werte a>0 und b>0 (ACHTUNG nicht alle positiven Werte für a ergeben auch positive Werte für b) ist die Fläche positiv und somit größer als 0 => der gefundene Extremwert für a=14.019 muss ein Maximum sein. Wäre es ein Sattelpunkt, dann müsste es noch einen Wert geben, der dann das Maximum wäre - einen weiteren Wert gibt es aber nicht, da es nur eine Lösung für a gibt.