NMMRUS 99 Loesung

Wie er seine Herde aufteilte

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Am besten wir das Pferd in diesem Fall von Hinten aufgezäumt. D.h. man betrachtet den jüngsten Sohn (der als Letzer d'rankommt), dann den nächstätesten, der davor d'ran war usw. Der jüngste Sohn hat den Index 0, der zweitjüngste den Index 1, ... der älteste Sohn hat den Index n und es gibt n Söhne.

$F_{i}$ sind die Kühe, die die Familie i erhält (Sohn + Frau) - $R_{i}$ ist der Rest der Kühe, die für Familie i zur Verfügung stehen (auch, wenn sie nicht immer alle nimmt - es gibt ja ev. noch jüngere Brüder). $R_{n-1}$ sind die Kühe, die dem ältesten Sohn zur Verfügung stehen - also alle Kühe, die der Farmer vererbt. Es wird sowohl nach dem $R_{n-1}$ (Anzahl der Kühe) als auch nach dem $n$ (Anzahl der Söhne) gefragt.

Was wissen wir

Der jüngste (letze) Sohn nimmt $k_{0}$ Kühe ($k_{0}$ ist jetzt nur eine Natürliche Zahl, für die wir später dann noch Bedingungen finden werden), danach sind keine mehr über - auch nicht für seine Frau. Das ist die Anfangsbedingung.

$F_{0}=R_{0}=k_{0}$

Der Sohn i nimmt $k_{0}-i$ Kühe. Da wir verkehrt zählen, nimmt der Sohn, der vorher dran ist (der mit dem höheren Index) eine Kuh weniger als, der der nachher dran ist. Seine Frau bekommt ein Neuntel, von dem Rest, der dann noch über ist. Für den Rest, der dann noch über ist, müssen wir die Kühe, die der Sohn nimmt vorher abziehen und erhalten folgende Bezieheung für die Menge an Kühen, die die Familie i erhält:

$F_{i}=k_{0}-i+{{R_{i}-(k0-i)} \over 9}$

Das Neuntel von den $k_{0}-i$ läßt sich herausheben und von dem "Einser" abziehen, dann sind es $8 \over 9$ und die Fomel sieht etwas besser aus:

$F_{i}=(k_{0}-i){8 \over 9}+{R_{i} \over 9}$

Dem Sohn, der nachher drankommt (der mit dem niedrigeren Index) bleiben um soviel Kühe weniger als die Familie vorher bekommen hat. Das führ zu einer Beziehung zwischen den $R_{i}$'s:

$R_{i-1}=R_{i}-F_{i}$

Einsetzen vom $F_{i}$ von dem wir ja schon 'was wissen:

$R_{i-1}=R_{i}-(k_{0}-i){8 \over 9}+{R_{i} \over 9}$

Das Neuntel vom rechteren $R_{i}$ kann man wieder mit dem "Einser" vor dem linkeren $R_{i}$ zusammen fassen und erhält:

$R_{i-1}={8 \over 9}R_{i}-{8 \over 9}(k_{0}-i)$

Differenzengleichung

Durch ein klein wenig Umformung erhalten wir eine klassische imhonogen Differenzengleichung. Dazu müssen nur alle $R_{i}$'s auf eine Seite:

$R_{0}=k_{0}$
${8 \over 9}R_{i}-R_{i-1}={8 \over 9}(k_{0}-i)$

Derartige Differenzgleichungen löst man, indem man die homogene Variante (da sthet rechts = 0) auflöst, dann eine partikuläre Lösung findet. Das Gesamtergebnis ist die Summe der homogenen und der parikulären Lösung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung.

Homogene Lösung

${8 \over 9}R_{i}^{H}-R_{i-1}^{H}=0$

Das Einsetzen die Lamdagleichung können wir uns hier sparen, da man sofort sieht, dass es mit dem Reziprokwert von $8 \over 9$ als Faktor klappen wird:

$R_{i}^{H}=c({9 \over 8})^{i}$

Das $R_{i}^{H}$ hat zwar um einen Faktor $9 \over 8$ mehr als das $R_{i-1}^{H}$ - der wird aber durch das $8 \over 9$ davor "anuliert". Das $c$ ist ein beliebiger Faktor, der dann aber später durch die Anfangsbedingung eingeschränkt werden wird...

Partikuläre Lösung

Als Ansatz wird sich hier folgendes bewähren, da rechts vom = das i liniear vorkommt:

$R_{i}^{P}=xi+y$

Gesucht wird jetzt ein passendes x und y durch Einsetzen:

${8 \over 9}(xi+y)-((i-1)x+y)={8 \over 9}(k_{0}-i)$
${8 \over 9}(xi+y)-(xi-x+y)={8 \over 9}(k_{0}-i)$
$-{1 \over 9}xi-{1 \over 9}y+x={8 \over 9}(k_{0}-i)$