NMMRUS 99 Loesung

Wie er seine Herde aufteilte

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Am besten wird das Pferd, in diesem Fall, von Hinten aufgezäumt. D.h. man betrachtet den jüngsten Sohn (der als Letzer d'rankommt), dann den nächstältesten, der davor d'ran war usw. Der jüngste Sohn hat den Index 0, der zweitjüngste den Index 1, ... der älteste Sohn hat den Index $n-1$ und es gibt $n$ Söhne.

$F_{i}$ sind die Kühe, die die Familie i erhält (Sohn + Frau) - $R_{i}$ ist der Rest der Kühe, die für Familie i zur Verfügung stehen (auch, wenn sie nicht immer alle nimmt - es gibt ja ev. noch jüngere Brüder). $R_{n-1}$ sind die Kühe, die dem ältesten Sohn zur Verfügung stehen - also alle Kühe, die der Rancher vererbt. Es wird sowohl nach dem $R_{n-1}$ (Anzahl der Kühe) als auch nach dem $n$ (Anzahl der Söhne) gefragt.

Was wissen wir

Der jüngste (letze) Sohn nimmt $k_{0}$ Kühe ($k_{0}$ ist jetzt nur eine Natürliche Zahl, für die wir später dann noch Bedingungen finden werden), danach sind keine mehr über - auch nicht für seine Frau. Das ist die Anfangsbedingung.

$F_{0}=R_{0}=k_{0}$

Der Sohn i nimmt $k_{0}-i$ Kühe. Da wir verkehrt zählen, nimmt der Sohn, der vorher dran ist (der mit dem höheren Index) eine Kuh weniger als, der der nachher dran ist. Seine Frau bekommt ein Neuntel, von dem Rest, der dann noch über ist. Für den Rest, der dann noch über ist, müssen wir die Kühe, die der Sohn nimmt vorher abziehen und erhalten folgende Beziehung für die Menge an Kühen, die die Familie i erhält:

$F_{i}=k_{0}-i+{{R_{i}-(k0-i)} \over 9}$

Das Neuntel von den $k_{0}-i$ läßt sich herausheben und von dem "Einser" abziehen, dann sind es $8 \over 9$ und die Fomel sieht etwas besser aus:

$F_{i}=(k_{0}-i){8 \over 9}+{R_{i} \over 9}$

Dem Sohn, der nachher drankommt (der mit dem niedrigeren Index) bleiben um soviel Kühe weniger als die Familie vorher bekommen hat. Das führt zu einer Beziehung zwischen den $R_{i}$'s:

$R_{i-1}=R_{i}-F_{i}$

Einsetzen vom $F_{i}$ von dem wir ja schon 'was wissen:

$R_{i-1}=R_{i}-(k_{0}-i){8 \over 9}+{R_{i} \over 9}$

Das Neuntel vom rechteren $R_{i}$ kann man wieder mit dem "Einser" vor dem linkeren $R_{i}$ zusammen fassen und erhält:

$R_{i-1}={8 \over 9}R_{i}-{8 \over 9}(k_{0}-i)$

Differenzengleichung

Durch ein klein wenig Umformung erhalten wir eine klassische inhonogen Differenzengleichung. Dazu müssen nur alle $R_{i}$'s auf eine Seite:

$R_{0}=k_{0}$
${8 \over 9}R_{i}-R_{i-1}={8 \over 9}(k_{0}-i)$

Derartige Differenzgleichungen löst man, indem man die homogene Variante (da steht rechts = 0) auflöst, dann eine partikuläre Lösung findet. Das Gesamtergebnis ist die Summe der homogenen und der partikulären Lösung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung.

Homogene Lösung

${8 \over 9}R_{i}^{H}-R_{i-1}^{H}=0$

Das Einsetzen die Lamdagleichung können wir uns hier sparen, da man sofort sieht, dass es mit dem Reziprokwert von $8 \over 9$ als Faktor klappen wird:

$R_{i}^{H}=c({9 \over 8})^{i}$

Das $R_{i}^{H}$ hat zwar um einen Faktor $9 \over 8$ mehr als das $R_{i-1}^{H}$ - der wird aber durch das $8 \over 9$ davor "anuliert". Das $c$ ist ein beliebiger Faktor, der dann aber später durch die Anfangsbedingung eingeschränkt werden wird...

Partikuläre Lösung

Als Ansatz wird sich hier folgendes bewähren, da rechts vom = das $i$ linear vorkommt:

$R_{i}^{P}=xi+y$

Gesucht wird jetzt ein passendes $x$ und $y$ durch Einsetzen:

${8 \over 9}(xi+y)-((i-1)x+y)={8 \over 9}(k_{0}-i)$
${8 \over 9}(xi+y)-(xi-x+y)={8 \over 9}(k_{0}-i)$
$-{1 \over 9}xi-{1 \over 9}y+x={8 \over 9}k_{0}-{8 \over 9}i$

Jetzt entledigen wir uns dem lästigen Neuntel durch Multiplizieren von 9:

$-xi-y+9x=8k_{0}-8i$

Jetzt sieht man, dass $-x=-8$ (wegen dem $i$) - und wir setzen ein, was sein muss ( $x=8$ ):

$-y+72=8k_{0}$
$y=72-8k_{0}$

Die (eine) Partikuläre Lösung ist somit:

$R_{i}^{P}=8i+72-8k_{0}$

Gesamtlösung für $R_{i}$

Die Gesamtlösung ist die Summe der homogenen und einer partikulären Lösung:

$R_{i}=c({9 \over 8})^{i}+8i+72-8k_{0}$

Aus der Anfangsbedingung $R_{0}=k_{0}$ können wir nun das c bestimmen:

$k_{0}=R_{0}=c\cdot 1+8\cdot 0+72-8k_{0}$
$k_{0}=c+72-8k_{0}$
$c=9k_{0}-72=9(k_{0}-8)$

Die fast schlussendliche Formel für das $R_{i}$ lautet somit:

$R_{i}=9(k_{0}-8)({9 \over 8})^{i}+8i+72-8k_{0}$

Das ist die allgemeine Form für die Kuhreste der jeweiligen Familie $i$ ! Diese Formel erfüllt folgende Bedingung der Angabe: Der nächste Sohn nimmt eine Kuh mehr und seine Frau erhält ein Neuntel des "Rests". Die letzte Frau bekommt nichts.

Impliziet steckt aber eine nicht genannte Bedingung in der Angabe - nämlich, dass es sich mit dem Dividieren durch 9 immer ausgehen wird. Die obige Formel produziert ev. Achtel Kühe für die jeweiligen Reste.

Wenn man sich obige Formel ansieht, dann muss entweder $(k_{0}-8)$ genügend oft durch 8 teilbar sein - oder $(k_{0}-8)$ gleich Null sein.

Fall A

$k_{0}-8=0$
$k_{0}=8$

$R_{i}^{A}=8i+72-64$
$R_{i}^{A}=8i+8$
$R_{i}^{A}=8(i+1)$

Viel weiter oben haben wir auch die Bedingung für die $F_{i}$.

$F_{i}^{A}=R_{i}^{A}-R_{i-1}^{A}$
$F_{i}^{A}=8(i+1)-8(i-1+1)$
$F_{i}^{A}=8i+8-8i$
$F_{i}^{A}=8$

Hmmm - jede Familie bekommt gleich viel Kühe - nämlich 8. Was heißt das für die 7 Pferde? Da jede Familie schon den gleichen Wert an Kühen hat - geht sich das nur aus, wenn jede Familie ein Pferd bekommt (denn Sieben ist nicht teilbar). Woraus unmittelbar folgt, dass es 7 Söhne sind und somit $n=7$. Die ursprüngliche Anzahl der Kühe ist $R_{n-1}$.

$R_{n-1}^{A}=R_{6}^{A}=8(6+1)=8\cdot 7=56$

Fall B

Es gibt aber noch eine Möglichkeit: $(k_{0}-8)$ ist genügend oft durch 8 teilbar. Genügend oft heißt $n-1$ mal.

$k_{0}-8=z_{0}\cdot 8^{n-1}$
$k_{0}=z_{0}\cdot 8^{n-1}+8$

Das $z_{0}$ kann jede beliebige, positive, ganze Zahl sein - später werden sich schon Einschränkungen ergeben (ich rechne jetzt trotzdem mit $k_{0}$ weiter, da es weniger zu schreiben ist - die Formel mit dem $z_{0}$ wird erst am Schluss eingesetzt).

$R_{i}=9(k_{0}-8)({9 \over 8})^{i}+8i+72-8k_{0}$

Was bedeutet das für die Familien - und wieviel bekommen sie?

$F_{i}=R_{i}-R_{i-1}$
$F_{i}=9(k_{0}-8)({9 \over 8})^{i}+8i+72-8k_{0}-9(k_{0}-8)({9 \over 8})^{i-1}-8(i-1)-72+8k_{0}$
$F_{i}=9(k_{0}-8)({9 \over 8})^{i}-{9 \over 8})^{i-1})+8$
$F_{i}=9(k_{0}-8)({{9\cdot 9^{i-1}-8\cdot 9^{i-1}} \over {8^{i}}})+8$
$F_{i}=9(k_{0}-8)9^{i-1}({1 \over {8^{i}}})+8$
$F_{i}=(k_{0}-8)({9 \over 8})^{i}+8$

Da ${9 \over 8}>1$ bekommen die Familien der älteren Söhne mehr Kühe $i>j\Rightarrow F_{i}>F_{j}$. D.h. $F_{n-1}$ ist die Maximalanzahl an Kühen, die verteilt werden. Damit man das mit den Pferden ausgleichen kann wollen wir nun wissen um wieviele Kühe die Familie $i$ weniger bekommt als die Familie $n-1$:

$\Delta _{i}=F_{n-1}-F_{i}$
$\Delta _{i}=(k_{0}-8)(({9 \over 8})^{n-1}-({9 \over 8})^{i})$
$\Delta _{i}=(k0-8)9^{i}{{9^{n-i-1}-8^{n-i-1}} \over {8^{n-1}}}$

Vorhin hatten wir festgestellt, dass $k_{0}-8=z_{0}\cdot 8^{n-1}$ ist.

$\Delta _{i}=z_{0}\cdot 8^{n-1}9^{i}{{9^{n-i-1}-8^{n-i-1}} \over {8^{n-1}}}$
$\Delta _{i}=z_{0}\cdot 9^{i}(9^{n-i-1}-8^{n-i-1})$

Jetzt hilft nur eine kurze Tabelle weiter, die die $\Delta _{i}$'s in Abhängigkeit von $n$ zeigt.

$n$	$\Delta _{0}$	$\Delta _{1}$	$\Delta _{2}$	$\Delta _{3}$
1	0
2	$z_{0}$	0
3	$17\cdot z_{0}$	$z_{0}$	0
4	$217\cdot z_{0}$	$17\cdot z_{0}$	$z_{0}$	0

Schon in der dritten Zeile ist klar, dass es sich so nicht ausgehen wird, denn der letzte Sohn hat schon um $17\cdot z_{0}$ Kühe weniger als der erste - dazu wären zum Ausgleich 8.5 Pferde nötig (falls $z_{0}=1$ ist - sonst wären es noch mehr) - es gibt aber nur 7 Pferde. Für größere $n$ wird die ganze Sache nur noch ärger. Darum geht es nur mit Zeile zwei und $n=2$ - da bekommt der jüngere Sohn um $z_{0}$ Kühe weniger. Da Kühe halb soviel Wert sind wie Pferde muss $z_{0}=14$ sein und er erhält zum Ausgleich alle 7 Pferde. Somit wissen wir:

$k_{0}=z_{0}\cdot 8^{n-1}+8=14\cdot 8^{1}+8=120$
$R_{n-1}=R_{1}=9(k_{0}-8)({9 \over 8})^{1}+8\cdot 1+72-8k_{0}$
$R_{1}=9\cdot 112\cdot {9 \over 8}+80+8\cdot 120$
$R_{1}=254$

Lösung der Aufgabenstellung

Die Angabe ist leider nicht eindeutig genug! Na ja, in der Aufgabenstellung ist von einem dritten Sohn die Rede - dadurch würde der Fall B (zwei Söhne) ausgeschlossen - dafür helfen aber im Fall B die sieben Pferde zu dem "Ausgleich" - von dem ja auch die Rede ist - der wieder im Fall A nicht stattfindet. Die Frage wieviele Söhne und wieviele Kühe hatte der Rancher lässt sich nicht beantworten, denn es gibt zwei Möglichkeiten:

A: Der Farmer hatte 56 Kühe und sieben Söhne. Der älteste Sohn nahm 2 Kühe das wurde aber durch die Neuntel der Frauen wieder ausgeglichen, sodass jede Familie 8 Kühe erhielt. Es war kein Ausgleich durch die Pferde nötig, darum bekam jede Familie ein Pferd.

i	$R_{i}$	$k_{0}-i$	$R_{i}-k_{0}+i$	Frau	$F_{i}$
6	56	2	54	6	8
5	48	3	45	5	8
4	40	4	36	4	8
3	32	5	27	3	8
2	24	6	18	2	8
1	16	7	9	1	8
0	8	8	0	0	8

B: Der Rancher hatte 254 Kühe und zwei Söhne, der erste Sohn nahm sich 119 Kühe. Die sieben Pferde bekam der jüngere Sohn zu Gänze, da seine Familie um 14 Kühe weniger bekam.

i	$R_{i}$	$k_{0}-i$	$R_{i}-k_{0}+i$	Frau	$F_{i}$
1	254	119	135	15	134
0	120	120	0	0	120