NMMRUS 63 Loesung

Wie weit ist es bis Piketown?

Sei s die gesamte Strecke vom Hotel bis Piketown, a die Strecke vom Hotel bis zur Station und b die Strecke von der Station bis Piketown. Alle Strecken werden in Meilen gemessen. Sei $v_{f}$ und $v_{k}$ die Geschwindikeit des Fußgängers bzw. der Kutsche gemessen in Meilen pro Minute (da die Zeitangaben auch in Minuten sind).

Von der 3.Möglichkeit wissen wir, dass der Fußgänger 4 Meilen zurückgelegt hat, wenn die Kutsche in der Station eintrifft.

[1] ${a \over v_{k}}={4 \over v_{f}}$

Daraus lassen sich unmittelbar zwei Beziehungen ableiten (wir werden sie später noch brauchen).

[2] ${v_{f} \over v_{k}}={4 \over a}$
[3] $v_{k}=v_{f}{a \over 4}$

Weiters wissen von der 4. Möglichkeit, dass der Fußgänger genau dann in der Station eintrifft, wenn die Pause von 30 Minuten vorbei ist.

[4] ${{a-4} \over v_{f}}=30$
[5] $v_{f}={{a-4} \over 30}$

Aus [3] und [5] ergibt sich.

[6] $v_{k}={{(a-4)} \over 30}\cdot {a \over 4}$

Von Möglichkeit 2 wissen wir, dass die Kutsche den Fußgänger um 1 Meile schlägt. Die Kutsche gibt dem Fußgänger 30 Minuten mehr Zeit, da sie selber solange in der Station verweilt.

[7] $t_{2}={s \over v_{k}}+30$

[8] $v_{f}\cdot t_{2}=s-1$

[9] $s-1={v_{f} \over v_{k}}\cdot s+30\cdot v_{f}$

Zusammenfassen durch Herausheben von s.

[10] $s\cdot (1-{v_{f} \over v_{k}})=30\cdot v_{f}+1$

[11] $s={{30\cdot v_{f}+1} \over {1-{v_{f} \over v_{k}}}}$

Jetzt setzen wir das was wir über die Geschwindikeiten bzw. deren Verhältnis wissen aus [5] und [2] ein.

[12] $s={{30\cdot {{a-4} \over 30}+1} \over {1-{4 \over a}}}$

[13] $s={{(a-4)+1} \over {{a-4} \over a}}$

[14] $s=a\cdot {{a-3} \over {a-4}}$

Von der Möglichkeit 4 wissen wir, dass in diesem Fall der Fußgänger die Kutsche um 15 Minuten schlägt. $t_{4}$ ist die Zeit die der Fußgänger für die zweite Teilstrecke b braucht. Die Kutsche hat einerseits 30 Minuten weniger zur Verfügung (wegen der Pause) und braucht dann immer noch 15 Minuten länger.

[15] $t_{4}={b \over v_{f}}$
[16] ${b \over v_{k}}=t_{4}-30+15$

[17] ${b \over v_{k}}={b \over v_{f}}-15$

[18] $b\cdot ({1 \over v_{f}}-{1 \over v_{k}})=15$

[19] $b\cdot {{v_{k}-v_{f}} \over {v_{f}\cdot v_{k}}}=15$

[20] $b=15\cdot {{v_{k}-v_{f}} \over {v_{f}\cdot v_{k}}}$