Difference between revisions of "MR 07 Loesung"

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Die Skizze hat ein relativ großes Loch, weil man so die Verhältnisse besser erkennen kann:
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In der Skizze hat die Kugel ein relativ großes Loch, weil man so die Verhältnisse besser erkennen kann:
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Durch das (gebohrte) Loch hat die Kugel die Deckkalotten verloren. Die Kugeln auf der Stange der Kugerlrechnenmaschine sitzen näher beieinander als der Durchmesser <math>D</math> der Kugel vorgibt. Dieses kürzere Maß nenne ich <math>h</math> und es hängt natürlich von <math>D</math> und <math>d</math> ab:
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<math>h = \sqrt{D^2 - d^2}</math>
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Um das gesuchte Volumen der Kugel mit Durchmesser <math>D</math> mit dem Loch mit Durchmesser <math>d</math> zu finden führt (in diesem Fall) der einfachste und schnellste Weg über ein Integral der Querschnitte. Es wird von <math>0</math> bis <math>h \over 2</math> integriert und das Ergebnis mal zwei genommen um das Gesamtvolumen zu erhalten, das auch aus der anderen Hälfte besteht.
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<math>2 \int\limits_{0}^{h \over 2}\pi \left (\sqrt{{{D^2} \over 4} - x^2} \right )^2 - \pi {{d^2} \over 4}\, dx</math>
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Das mit der Wurzel ist der Radius der Kreisscheibe der Kugel an der Stelle x. Natürlich kann man die Wurzel gegen das Quadrat "kürzen" - genauso, wie <math>\pi</math> herausheben und vor das Integral stellen.
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<math>2 \pi \int\limits_{0}^{h \over 2} {{D^2} \over 4} - x^2 - {{d^2} \over 4} \, dx</math>
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Ein wenig umrangieren:
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<math>2 \pi \int\limits_{0}^{h \over 2} {{D^2 - d^2} \over 4} - x^2 \, dx</math>
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Und man erkennt das <math>D^2 - d^2</math> als <math>h^2</math>.
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<math>2 \pi \int\limits_{0}^{h \over 2} {{h^2} \over 4} - x^2 \, dx</math>
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Man kann das ganze auch in zwei Integrale zerlegen, die sich einzeln leichter auflösen lassen:
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<math>2 \pi \left ( \int\limits_{0}^{h \over 2} {{h^2} \over 4} - \int\limits_{0}^{h \over 2} x^2 \, dx \right )</math>
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<math>2 \pi \left ( {h \over 2} \cdot {{h^2} \over 4} - \left | {{x^3} \over 3} \right |_0^{h \over 2} \right )</math>
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<math>2 \pi \left ( {{h^3} \over 8} - { {{ \left ( {h \over 2} \right ) }^3} \over 3} \right ) = 2 \pi \left ( \left ( {h \over 2} \right )^3 - {1 \over 3} \cdot \left ( {h \over 2} \right )^3 \right ) = 2 \pi \left ( {2 \over 3} \cdot \left ( {h \over 2} \right )^3 \right )</math>
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<math>{{4 \pi} \over 3} \cdot \left ( {h \over 2} \right )^3</math>
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Und das ist das Volumen einer Kugel mit dem Durchmesser <math>h</math>!

Latest revision as of 16:35, 23 September 2018

Die Perle des Abakus

zurück zur Aufgabenstellung

In der Skizze hat die Kugel ein relativ großes Loch, weil man so die Verhältnisse besser erkennen kann:

Error creating thumbnail: File missing
Kugel mit Loch

Durch das (gebohrte) Loch hat die Kugel die Deckkalotten verloren. Die Kugeln auf der Stange der Kugerlrechnenmaschine sitzen näher beieinander als der Durchmesser der Kugel vorgibt. Dieses kürzere Maß nenne ich und es hängt natürlich von und ab:

Um das gesuchte Volumen der Kugel mit Durchmesser mit dem Loch mit Durchmesser zu finden führt (in diesem Fall) der einfachste und schnellste Weg über ein Integral der Querschnitte. Es wird von bis integriert und das Ergebnis mal zwei genommen um das Gesamtvolumen zu erhalten, das auch aus der anderen Hälfte besteht.

Das mit der Wurzel ist der Radius der Kreisscheibe der Kugel an der Stelle x. Natürlich kann man die Wurzel gegen das Quadrat "kürzen" - genauso, wie herausheben und vor das Integral stellen.

Ein wenig umrangieren:

Und man erkennt das als .

Man kann das ganze auch in zwei Integrale zerlegen, die sich einzeln leichter auflösen lassen:

Und das ist das Volumen einer Kugel mit dem Durchmesser !