KISS

KISS - Keep It Simple, Stupid

Alles, das komplizierter ist, als es sein müsste, ist unnötig - beschreibt das KISS Prinzip.

Wenn etwas einfacher geht, so ist es besser. Wenn es nicht mehr einfacher geht, so ist ein Optimum erreicht.

Es gibt viele Dinge, die dem KISS Prinzip entsprechen. UNIX z.B. gehört dazu und hat (glaube ich) auch dieses Prinzip als erstes so beschrieben.

Ich will aber hier über das KISS Prinzip in einem anderen Kontext schreiben - den dezimalen Gleitkommazahlen: Meine Lieblings-Taschen-Rechner (HP) kommen mit 10 Stellen Mantisse und zwei Stellen Exponent aus. Die "wirkliche" Welt kommt mit "solchen" Zahlen aus - fast aus.

Inspiriert wurde ich durch einen Gedanken von der Doppel-CD "Lesch und Gunkel" Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} (der Link ist bloß dazu da, dass man weiß "wovon" ich hier spreche).

Dabei geht es im wesentlichen darum: "Wie viele Stellen braucht unser Universum von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} ?". Gunkel meint dabei, dass unser Universum ca. 250 Stellen von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} braucht - die "Mathematiker" somit mit dem aktuellen Rekord von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10^{12}} Stellen weit, weit über das Notwendige hinaus geschossen sind.

Ich hingegen, bin der Meinung, dass unser Universum "bloß" 127 Stellen von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} benötigt, weil...

• Die größte "praktische" Länge ist der Umfang des Universums - der Umfang des Universums ist das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} -fache des Durchmessers des Universums - der Durchmesser des Universums ist (siehe und) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 28\cdot10^{27}} m.
• Die kleinste "praktische" Länge ist die Planck-Länge - Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1.6\cdot 10^{-35}} m.

Der Gedanke ist, das größte denkbare n-Eck zu finden, dieses wird von dem größten denkbaren Kreis umschrieben. Das ist der Kreis, der das ganze Universum umspannt. Die Seiten des n-Ecks sind die kleinsten denkbare Längen. Somit ergibt sich ein: größter möglicher Umfang dividiert durch kleinste mögliche Länge: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 28\cdot10^{27} \cdot \pi \div 1.6\cdot 10^{-35} \cong 5.5\cdot 10^{63}} d.h. das größte denkbare n-Eck hat ca. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 5.5\cdot 10^{63}} Ecken.

Wenn wir nun ein solches "Maximal-Eck" mit einem idealen Kreis vergleichen, dann kommen wir - so der Gedanke - auf die maximal notwendige Anzahl der Stellen von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} .

Für die folgende Abschätzung der "notwendigen" Stellen von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} nehme ich ein Kreis mit dem "Einheitsdurchmesser"; das ist ein Keis mit dem Durchmesser 1 - 1 Meter - 1 Uniniversum - das ist egal, denn wir befinden uns ab jetzt im Reich der Mathematik - da ist alles "logische" denkbar...

Die folgenden Formeln verwenden durchaus Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} - es wird sich aber schrittweise "herauskürzen" - wir brauchen uns nur "vorstellen" Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} "exakt" zu kennen. In so einem Fall steht eben Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} dort.

Im folgenden Kontext betrachten wir ein regelmäßiges n-Eck, das einem Einheitskreis eingeschrieben ist. (Alles folgende gilt für alle Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \ge 2} - allerdings strapaziert der Grenzfall 2 die Vorstellungskraft ein wenig...)

Eines sollte klar sein je größer die Anzahl der Ecken eines eingeschriebenen n-Ecks sind, desto näher kommt der Umfang Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_n} dem idealen Umfang Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_\infty} dem Umfang des Kreises, dessen Durchmesser "1" ist - Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_\infty = \pi} .

<Skizzen fehlen aktuell leider noch>

Die Seite des n-Ecks Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n} findet man aus den Bildern über deren Hälfte Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n \over 2} . Der Sektor einer Seite des n-Ecks umfasst den Winkel von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi\over n} . Der halbe Winkel (siehe Skizze) ist somit Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi \over n} .

Der umschreibende ideale Kreis wurde so gewählt, dass sein Durchmesser gleich 1 ist und somit sein Umfang gleich Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} ist. Der Radius dieses Kreises ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1\over 2} - somit ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {a_n \over 2} = {1 \over 2} \cdot \sin{\pi \over n}} . Somit ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n = \sin{\pi \over n}} .

Der Umfang des idealen Kreises (mit Durchmesser gleich 1) ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_\infty = \pi} - der Umfang des eingeschriebenen n-Ecks ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_n = n \cdot a_n = n \cdot sin{\pi \over n}} .

Die spannende Frage ist nun: Wenn Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_\infty} alle Stellen von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} liefert - wie viele Stellen liefert dann Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_n} ?

Subtrahieren wir einfach diese beiden Werte. Die Stellen, die gleich sind löschen sich somit aus - über bleiben nur die "falschen" Stellen von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} in Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_n} .

Ein konkretes Zahlenbeispiel zum Vorstellen: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_\infty = 3.1415926...} - sei Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_n = 3.1402345...} - subtrahieren wir diese beiden Zahlen, dann "löschen" sich die "richtigen" Stellen von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} aus und es bleiben die "falschen" Differenzen zurück (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_n < U_\infty} ) - in diesem Beispiel eben 0.0013581... - die führende Stelle verrät uns den Fehler - oder anders die Zehnerpotenz der Differenz gibt Aufschluss über die "richtigen" Stellen von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} . In unserem Beispiel wäre das Ergebnis der Differnez Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1.3582\cdot 10^{-3}} - das -3 "sagt" uns, dass Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} auf drei Stellen genau berechnet wurde.

Wir müssen also Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_\infty - U_n} soweit berechenen - oder abschätzen, dass wir den Zehner-Exponenten der Differenz kennen um die Anzahl der Stellen von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} zu kennen, die Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_n} liefert.

Wie zwei Absätze vorher argumentiert, brauchen wir diese Differrenz nur in Bezug ihrer Zehnerpotenz richtig abzuschätzen um die "gelieferten" Stellen von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi} durch Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_n} zu wissen. Weil n sehr groß und somit Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi \over n} sehr viel kleiner als 1 ist, brauchen wir in der Taylor-Reihe von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin(x)} nur die ersten beiden Glieder betrachten.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin(x) = x - {{x^3} \over {3!}} + {{x^5} \over {5!}} - {{x^7} \over {7!}} + ...}

Ist x genügend kleiner als 1, ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin(x) \cong x - {{x^3} \over 6}} . Da wir ja "nur" den Zehnerexponenten der Differenz abschätzen wollen - reicht das.

$U_{\infty }-U_{n}\cong \pi -n\cdot \left({\pi \over n}-\left({\pi \over n}\right)^{3}\cdot {1 \over 6}\right)=\pi -\pi +{{\pi ^{3}} \over {n^{2}}}\cdot {1 \over 6}={{\pi ^{3}} \over 6}\cdot {1 \over {n^{2}}}\cong 5.17\cdot {1 \over {n^{2}}}$

Einige Absätze vorher wurde bereits das größtmögliche n des größtmöglichen n-Ecks gefunden $n=5.5\cdot 10^{63}$. In die obige Formel (mit bedacht) eingesetzt ergibt das: $U_{\infty }-U_{n}\cong 5.17\cdot \left({1 \over 5.5}\right)^{2}\cdot \left({1 \over {10^{63}}}\right)^{2}=0.171\cdot 10^{-126}=1.71\cdot 10^{-127}$

D.h. mehr als 127 Dezimal-Stellen von $\pi$ braucht unser Universum einfach nicht.