KISS

KISS - Keep It Simple, Stupid

Alles, das komplizierter ist, als es sein müsste, ist unnötig - beschreibt das KISS Prinzip.

Wenn etwas einfacher geht, so ist es besser. Wenn es nicht mehr einfacher geht, so ist ein Optimum erreicht.

Es gibt viele Dinge, die dem KISS Prinzip entsprechen. UNIX z.B. gehört dazu und hat (glaube ich) auch dieses Prinzip als erstes so beschrieben.

Ich will aber hier über das KISS Prinzip in einem anderen Kontext schreiben - den dezimalen Gleitkommazahlen: Meine Lieblings-Taschen-Rechner (HP) kommen mit 10 Stellen Mantisse und zwei Stellen Exponent aus. Die "wirkliche" Welt kommt mit "solchen" Zahlen aus - fast aus.

Inspiriert wurde ich durch einen Gedanken von der Doppel-CD "Lesch und Gunkel" $\pi$ (der Link ist bloß dazu da, dass man weiß "wovon" ich hier spreche).

Dabei geht es im wesentlichen darum: "Wie viele Stellen braucht unser Universum von $\pi$?". Gunkel meint dabei, dass unser Universum ca. 250 Stellen von $\pi$ braucht - die "Mathematiker" somit mit dem aktuellen Rekord von $10^{12}$ Stellen weit, weit über das Notwendige hinaus geschossen sind.

Ich hingegen, bin der Meinung, dass unser Universum "bloß" 127 Stellen von $\pi$ benötigt, weil...

• Die größte "praktische" Länge ist der Umfang des Universums - der Umfang des Universums ist das $\pi$ -fache des Durchmessers des Universums - der Durchmesser des Universums ist (siehe und) $28\cdot 10^{27}$ m.
• Die kleinste "praktische" Länge ist die Planck-Länge - $1.6\cdot 10^{-35}$ m.

Der Gedanke ist, das größte denkbare n-Eck zu finden, dieses wird von dem größten denkbaren Kreis umschrieben. Das ist der Kreis, der das ganze Universum umspannt. Die Seiten des n-Ecks sind die kleinsten denkbare Längen. Somit ergibt sich ein: größter möglicher Umfang dividiert durch kleinste mögliche Länge: $28\cdot 10^{27}\cdot \pi \div 1.6\cdot 10^{-35}\cong 5.5\cdot 10^{63}$ d.h. das größte denkbare n-Eck hat ca. $5.5\cdot 10^{63}$ Ecken.

Wenn wir nun ein solches "Maximal-Eck" mit einem idealen Kreis vergleichen, dann kommen wir - so der Gedanke - auf die maximal notwendige Anzahl der Stellen von $\pi$.

Für die folgende Abschätzung der "notwendigen" Stellen von $\pi$ nehme ich ein Kreis mit dem "Einheitsdurchmesser"; das ist ein Keis mit dem Durchmesser 1 - 1 Meter - 1 Uniniversum - das ist egal, denn wir befinden uns ab jetzt im Reich der Mathematik - da ist alles "logische" denkbar...

Die folgenden Formeln verwenden durchaus $\pi$ - es wird sich aber schrittweise "herauskürzen" - wir brauchen uns nur "vorstellen" $\pi$ "exakt" zu kennen. In so einem Fall steht eben $\pi$ dort.

Im folgenden Kontext betrachten wir ein regelmäßiges n-Eck, das einem Einheitskreis eingeschrieben ist. (Alles folgende gilt für alle $n\geq 2$ - allerdings strapaziert der Grenzfall 2 die Vorstellungskraft ein wenig...)

Eines sollte klar sein je größer die Anzahl der Ecken eines eingeschriebenen n-Ecks sind, desto näher kommt der Umfang $U_{n}$ dem idealen Umfang $U_{\infty }$ dem Umfang des Kreises, dessen Durchmesser "1" ist - $U_{\infty }=\pi$.

<Skizzen fehlen aktuell leider noch>

Die Seite des n-Ecks $a_{n}$ findet man aus den Bildern über deren Hälfte $a_{n} \over 2$. Der Sektor einer Seite des n-Ecks umfasst den Winkel von $2\pi \over n$. Der halbe Winkel (siehe Skizze) ist somit $\pi \over n$.

Der umschreibende ideale Kreis wurde so gewählt, dass sein Durchmesser gleich 1 ist und somit sein Umfang gleich $\pi$ ist. Der Radius dieses Kreises ist $1 \over 2$ - somit ist ${a_{n} \over 2}={1 \over 2}\cdot \sin {\pi \over n}$. Somit ist $a_{n}=\sin {\pi \over n}$.

Der Umfang des idealen Kreises (mit Durchmesser gleich 1) ist $U_{\infty }=\pi$ - der Umfang des eingeschriebenen n-Ecks ist $U_{n}=n\cdot a_{n}=n\cdot sin{\pi \over n}$.

Die spannende Frage ist nun: Wenn $U_{\infty }$ alle Stellen von $\pi$ liefert - wie viele Stellen liefert dann $U_{n}$?

Subtrahieren wir einfach diese beiden Werte. Die Stellen, die gleich sind löschen sich somit aus - über bleiben nur die "falschen" Stellen von $\pi$ in $U_{n}$.

Ein konkretes Zahlenbeispiel zum Vorstellen: $U_{\infty }=3.1415926...$ - sei $U_{n}=3.1402345...$ - subtrahieren wir diese beiden Zahlen, dann "löschen" sich die "richtigen" Stellen von $\pi$ aus und es bleiben die "falschen" Differenzen zurück ($U_{n}<U_{\infty }$) - in diesem Beispiel eben 0.0013581... - die führende Stelle verrät uns den Fehler - oder anders die Zehnerpotenz der Differenz gibt Aufschluss über die "richtigen" Stellen von $\pi$. In unserem Beispiel wäre das Ergebnis der Differnez $1.3582\cdot 10^{-3}$ - das -3 "sagt" uns, dass $\pi$ auf drei Stellen genau berechnet wurde.

Wir müssen also $U_{\infty }-U_{n}$ soweit berechenen - oder abschätzen, dass wir den Zehner-Exponenten der Differenz kennen um die Anzahl der Stellen von $\pi$ zu kennen, die $U_{n}$ liefert.

Wie zwei Absätze vorher argumentiert, brauchen wir diese Differrenz nur in Bezug ihrer Zehnerpotenz richtig abzuschätzen um die "gelieferten" Stellen von $\pi$ durch $U_{n}$ zu wissen. Weil n sehr groß und somit $\pi \over n$ sehr viel kleiner als 1 ist, brauchen wir in der Taylor-Reihe von $\sin(x)$ nur die ersten beiden Glieder betrachten.

$\sin(x)=x-{{x^{3}} \over {3!}}+{{x^{5}} \over {5!}}-{{x^{7}} \over {7!}}+...$

Ist x genügend kleiner als 1, ist $\sin(x)\cong x-{{x^{3}} \over 6}$. Da wir ja "nur" den Zehnerexponenten der Differenz abschätzen wollen - reicht das.

$U_{\infty }-U_{n}\cong \pi -n\cdot \left({\pi \over n}-\left({\pi \over n}\right)^{3}\cdot {1 \over 6}\right)=\pi -\pi +{{\pi ^{3}} \over {n^{2}}}\cdot {1 \over 6}={{\pi ^{3}} \over 6}\cdot {1 \over {n^{2}}}\cong 5.17\cdot {1 \over {n^{2}}}$

Einige Absätze vorher wurde bereits das größtmögliche n des größtmöglichen n-Ecks gefunden $n=5.5\cdot 10^{63}$. In die obige Formel (mit bedacht) eingesetzt ergibt das: $U_{\infty }-U_{n}\cong 5.17\cdot \left({1 \over 5.5}\right)^{2}\cdot \left({1 \over {10^{63}}}\right)^{2}=0.171\cdot 10^{-126}=1.71\cdot 10^{-127}$

D.h. mehr als 127 Dezimal-Stellen von $\pi$ braucht unser Universum einfach nicht.