NMMRUS 99 Loesung

Wie er seine Herde aufteilte

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Am besten wird das Pferd, in diesem Fall, von Hinten aufgezäumt. D.h. man betrachtet den jüngsten Sohn (der als Letzer d'rankommt), dann den nächstältesten, der davor d'ran war usw. Der jüngste Sohn hat den Index 0, der zweitjüngste den Index 1, ... der älteste Sohn hat den Index $n-1$ und es gibt $n$ Söhne.

$F_{i}$ sind die Kühe, die die Familie i erhält (Sohn + Frau) - $R_{i}$ ist der Rest der Kühe, die für Familie i zur Verfügung stehen (auch, wenn sie nicht immer alle nimmt - es gibt ja ev. noch jüngere Brüder). $R_{n-1}$ sind die Kühe, die dem ältesten Sohn zur Verfügung stehen - also alle Kühe, die der Rancher vererbt. Es wird sowohl nach dem $R_{n-1}$ (Anzahl der Kühe) als auch nach dem $n$ (Anzahl der Söhne) gefragt.

Was wissen wir

Der jüngste (letze) Sohn nimmt $k_{0}$ Kühe ($k_{0}$ ist jetzt nur eine Natürliche Zahl, für die wir später dann noch Bedingungen finden werden), danach sind keine mehr über - auch nicht für seine Frau. Das ist die Anfangsbedingung.

$F_{0}=R_{0}=k_{0}$

Der Sohn i nimmt $k_{0}-i$ Kühe. Da wir verkehrt zählen, nimmt der Sohn, der vorher dran ist (der mit dem höheren Index) eine Kuh weniger als, der der nachher dran ist. Seine Frau bekommt ein Neuntel, von dem Rest, der dann noch über ist. Für den Rest, der dann noch über ist, müssen wir die Kühe, die der Sohn nimmt vorher abziehen und erhalten folgende Beziehung für die Menge an Kühen, die die Familie i erhält:

$F_{i}=k_{0}-i+{{R_{i}-(k0-i)} \over 9}$

Das Neuntel von den $k_{0}-i$ läßt sich herausheben und von dem "Einser" abziehen, dann sind es $8 \over 9$ und die Fomel sieht etwas besser aus:

$F_{i}=(k_{0}-i){8 \over 9}+{R_{i} \over 9}$

Dem Sohn, der nachher drankommt (der mit dem niedrigeren Index) bleiben um soviel Kühe weniger als die Familie vorher bekommen hat. Das führt zu einer Beziehung zwischen den $R_{i}$'s:

$R_{i-1}=R_{i}-F_{i}$

Einsetzen vom $F_{i}$ von dem wir ja schon 'was wissen:

$R_{i-1}=R_{i}-(k_{0}-i){8 \over 9}+{R_{i} \over 9}$

Das Neuntel vom rechteren $R_{i}$ kann man wieder mit dem "Einser" vor dem linkeren $R_{i}$ zusammen fassen und erhält:

$R_{i-1}={8 \over 9}R_{i}-{8 \over 9}(k_{0}-i)$

Differenzengleichung

Durch ein klein wenig Umformung erhalten wir eine klassische inhonogen Differenzengleichung. Dazu müssen nur alle $R_{i}$'s auf eine Seite:

$R_{0}=k_{0}$
${8 \over 9}R_{i}-R_{i-1}={8 \over 9}(k_{0}-i)$

Derartige Differenzgleichungen löst man, indem man die homogene Variante (da steht rechts = 0) auflöst, dann eine partikuläre Lösung findet. Das Gesamtergebnis ist die Summe der homogenen und der partikulären Lösung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung.

Homogene Lösung

${8 \over 9}R_{i}^{H}-R_{i-1}^{H}=0$

Das Einsetzen die Lamdagleichung können wir uns hier sparen, da man sofort sieht, dass es mit dem Reziprokwert von $8 \over 9$ als Faktor klappen wird:

$R_{i}^{H}=c({9 \over 8})^{i}$

Das $R_{i}^{H}$ hat zwar um einen Faktor $9 \over 8$ mehr als das $R_{i-1}^{H}$ - der wird aber durch das $8 \over 9$ davor "anuliert". Das $c$ ist ein beliebiger Faktor, der dann aber später durch die Anfangsbedingung eingeschränkt werden wird...

Partikuläre Lösung

Als Ansatz wird sich hier folgendes bewähren, da rechts vom = das $i$ linear vorkommt:

$R_{i}^{P}=xi+y$

Gesucht wird jetzt ein passendes $x$ und $y$ durch Einsetzen:

${8 \over 9}(xi+y)-((i-1)x+y)={8 \over 9}(k_{0}-i)$
${8 \over 9}(xi+y)-(xi-x+y)={8 \over 9}(k_{0}-i)$
$-{1 \over 9}xi-{1 \over 9}y+x={8 \over 9}k_{0}-{8 \over 9}i$

Jetzt entledigen wir uns dem lästigen Neuntel durch Multiplizieren von 9:

$-xi-y+9x=8k_{0}-8i$

Jetzt sieht man, dass $-x=-8$ (wegen dem $i$) - und wir setzen ein, was sein muss ( $x=8$ ):

$-y+72=8k_{0}$
$y=72-8k_{0}$

Die (eine) Partikuläre Lösung ist somit:

$R_{i}^{P}=8i+72-8k_{0}$

Gesamtlösung für $R_{i}$

Die Gesamtlösung ist die Summe der homogenen und einer partikulären Lösung:

$R_{i}=c({9 \over 8})^{i}+8i+72-8k_{0}$

Aus der Anfangsbedingung Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0 = k_0} können wir nun das c bestimmen:

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Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_0 = c + 72 - 8 k_0}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c = 9 k_0 - 72 = 9 (k_0 - 8)}

Die fast schlussendliche Formel für das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_i} lautet somit:

$R_{i}=9(k_{0}-8)({9 \over 8})^{i}+8i+72-8k_{0}$

Das ist die allgemeine Form für die Kuhreste der jeweiligen Familie Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i}  ! Diese Formel erfüllt folgende Bedingung der Angabe: Der nächste Sohn nimmt eine Kuh mehr und seine Frau erhält ein Neuntel des "Rests". Die letzte Frau bekommt nichts.

Impliziet steckt aber eine nicht genannte Bedingung in der Angabe - nämlich, dass es sich mit dem Dividieren durch 9 immer ausgehen wird. Die obige Formel produziert ev. Achtel Kühe für die jeweiligen Reste.

Wenn man sich obige Formel ansieht, dann muss entweder Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (k_0 - 8)} genügend oft durch 8 teilbar sein - oder $(k_{0}-8)$ gleich Null sein.

Fall A

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Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^A_i = 8 i + 72 - 64}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^A_i = 8 i + 8}
$R_{i}^{A}=8(i+1)$

Viel weiter oben haben wir auch die Bedingung für die Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_i} .

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F^A_i = R^A_i - R^A_{i-1}}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F^A_i = 8 (i + 1) - 8 (i - 1 + 1)}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F^A_i = 8 i + 8 - 8 i}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F^A_i = 8}

Hmmm - jede Familie bekommt gleich viel Kühe - nämlich 8. Was heißt das für die 7 Pferde? Da jede Familie schon den gleichen Wert an Kühen hat - geht sich das nur aus, wenn jede Familie ein Pferd bekommt (denn Sieben ist nicht teilbar). Woraus unmittelbar folgt, dass es 7 Söhne sind und somit Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=7} . Die ursprüngliche Anzahl der Kühe ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{n-1}} .

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^A_{n-1} = R^A_6 = 8 (6 + 1) = 8 \cdot 7 = 56}

Fall B

Es gibt aber noch eine Möglichkeit: Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (k_0 - 8)} ist genügend oft durch 8 teilbar. Genügend oft heißt Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-1} mal.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_0 - 8 = z_0 \cdot 8^{n-1}}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_0 = z_0 \cdot 8^{n-1} + 8}

Das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_0} kann jede beliebige, positive, ganze Zahl sein - später werden sich schon Einschränkungen ergeben.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_i = 9 (k_0 - 8) ({9\over 8})^i + 8 i + 72 - 8 k_0}

Was bedeutet das für die Familien - und wieviel bekommen sie?

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_i = R_i - R_{i-1}}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_i = 9 (k_0 - 8) ({9\over 8})^i + 8 i + 72 - 8 k_0 - 9 (k_0 - 8) ({9\over 8})^{i-1} - 8 (i-1) - 72 + 8 k_0}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_i = 9 (k_0 - 8)({9\over 8})^i - {9\over 8})^{i-1}) + 8}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_i = 9 (k_0 - 8)({{9\cdot 9^{i-1} - 8\cdot 9^{i-1}}\over {8^i}}) + 8}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_i = 9 (k_0 - 8) 9^{i-1} ({1 \over {8^i}}) + 8}
$F_{i}=(k_{0}-8)({9 \over 8})^{i}+8$

Da Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {9\over 8} > 1} bekommen die Familien der älteren Söhne mehr Kühe Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i > j \Rightarrow F_i > F_j} . D.h. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{n-1}} ist die Maximalanzahl an Kühen, die verteilt werden. Damit man das mit den Pferden ausgleichen kann wollen wir nun wissen um wieviele Kühe die Familie Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} weniger bekommt als die Familie Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-1} :

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_i = F_{n-1} - F_{i}}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_i = (k_0 - 8)(({9\over 8})^{n-1} - ({9\over 8})^i)}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_i = (k0 - 8) 9^i {{9^{n-i-1} - 8^{n-i-1}}\over {8^{n-1}}}}

Vorhin hatten wir festgestellt, dass Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_0 - 8 = z_0 \cdot 8^{n-1}} ist.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_i = z_0 \cdot 8^{n-1} 9^i {{9^{n-i-1} - 8^{n-i-1}}\over {8^{n-1}}}}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_i = z_0 \cdot 9^i (9^{n-i-1} - 8^{n-i-1})}

Jetzt hilft nur eine kurze Tabelle weiter, die die Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_i} 's in Abhängigkeit von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} zeigt.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n}	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_0}	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_1}	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_2}	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_3}
1	0
2	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_0}	0
3	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 17 z_0}	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_0}	0
4	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 217 z_0}	Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 17 z_0}	$z_{0}$	0

Schon in der dritten Zeile ist klar, dass es sich so nicht ausgehen wird, denn der letzte Sohn hat schon um 17 Kühe weniger als der erste - dazu wären zum Ausgleich 8.5 Pferde nötig - es gibt aber nur 7 Pferde. Für größere Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} wird die ganze Sache nur noch ärger. Darum geht es nur mit Zeile zwei und Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=2} - da bekommt der jünger Sohn um Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_0} Kühe weniger. Da Kühe halb soviel Wert sind wie Pferde muss Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z_0 = 14} sein und er erhält zum Ausgleich alle 7 Pferde. Somit wissen wir:

$k_{0}=z_{0}\cdot 8^{n-1}+8=14\cdot 8^{1}+8=120$
$R_{n-1}=R_{1}=9(k_{0}-8)({9 \over 8})^{1}+8\cdot 1+72-8k_{0}$
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_1 = 9 \cdot 112 \cdot {9\over 8} + 80 + 8 \cdot 120}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_1 = 254}

Lösung der Aufgabenstellung

Die Angabe ist leider nicht eindeutig genug! Na ja, in der Aufgabenstellung ist von einem dritten Sohn die Rede - dadurch würde der Fall B (zwei Söhne) ausgeschlossen - dafür helfen aber im Fall B die sieben Pferde zu dem "Ausgleich" - von dem ja auch die Rede ist - der wieder im Fall A nicht stattfindet. Die Frage wieviele Söhne und wieviele Kühe hatte der Rancher lässt sich nicht beantworten, denn es gibt zwei Möglichkeiten:

A: Der Farmer hatte 56 Kühe und sieben Söhne. Der älteste Sohn nahm 2 Kühe das wurde aber durch die Neuntel der Frauen wieder ausgeglichen, sodass jede Familie 8 Kühe erhielt. Es war kein Ausgleich durch die Pferde nötig, darum bekam jede Familie ein Pferd.

B: Der Rancher hatte 254 Kühe und zwei Söhne, der erste Sohn nahm sich 119 Kühe. Die sieben Pferde bekam der jünger Sohn zu Gänze.