NMMRUS 99 Loesung

Wie er seine Herde aufteilte

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Am besten wir das Pferd in diesem Fall von Hinten aufgezäumt. D.h. man betrachtet den jüngsten Sohn (der als Letzer d'rankommt), dann den nächstätesten, der davor d'ran war usw. Der jüngste Sohn hat den Index 0, der zweitjüngste den Index 1, ... der älteste Sohn hat den Index n und es gibt n Söhne.

$F_{i}$ sind die Kühe, die die Familie i erhält (Sohn + Frau) - $R_{i}$ ist der Rest der Kühe, die für Familie i zur Verfügung stehen (auch, wenn sie nicht immer alle nimmt - es gibt ja ev. noch jüngere Brüder). $R_{n-1}$ sind die Kühe, die dem ältesten Sohn zur Verfügung stehen - also alle Kühe, die der Farmer vererbt. Es wird sowohl nach dem Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{n-1}} (Anzahl der Kühe) als auch nach dem Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} (Anzahl der Söhne) gefragt.

Was wissen wir

Der jüngste (letze) Sohn nimmt Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_0} Kühe (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_0} ist jetzt nur eine Natürliche Zahl, für die wir später dann noch Bedingungen finden werden), danach sind keine mehr über - auch nicht für seine Frau. Das ist die Anfangsbedingung.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_0 = R_0 = k_0}

Der Sohn i nimmt Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_0 - i} Kühe. Da wir verkehrt zählen, nimmt der Sohn, der vorher dran ist (der mit dem höheren Index) eine Kuh weniger als, der der nachher dran ist. Seine Frau bekommt ein Neuntel, von dem Rest, der dann noch über ist. Für den Rest, der dann noch über ist, müssen wir die Kühe, die der Sohn nimmt vorher abziehen und erhalten folgende Bezieheung für die Menge an Kühen, die die Familie i erhält:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_i = k_0 - i + {{R_i - (k0 - i)} \over 9}}

Das Neuntel von den Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_0 - i} läßt sich herausheben und von dem "Einser" abziehen, dann sind es $8 \over 9$ und die Fomel sieht etwas besser aus:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_i = (k_0 - i) {8 \over 9} + {R_i \over 9}}

Dem Sohn, der nachher drankommt (der mit dem niedrigeren Index) bleiben um soviel Kühe weniger als die Familie vorher bekommen hat. Das führ zu einer Beziehung zwischen den Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_i} 's:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{i-1} = R_i - F_i}

Einsetzen vom Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_i} von dem wir ja schon 'was wissen:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{i-1} = R_i - (k_0 - i) {8 \over 9} + {R_i \over 9}}

Das Neuntel vom rechteren Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_i} kann man wieder mit dem "Einser" vor dem linkeren Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_i} zusammen fassen und erhält:

$R_{i-1}={8 \over 9}R_{i}-{8 \over 9}(k_{0}-i)$

Differenzengleichung

Durch ein klein wenig Umformung erhalten wir eine klassische imhonogen Differenzengleichung. Dazu müssen nur alle Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_i} 's auf eine Seite:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0 = k_0}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {8 \over 9} R_i - R_{i-1} = {8\over 9} (k_0 - i)}

Derartige Differenzgleichungen löst man, indem man die homogene Variante (da sthet rechts = 0) auflöst, dann eine partikuläre Lösung findet. Das Gesamtergebnis ist die Summe der homogenen und der parikulären Lösung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung.

Homogene Lösung

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {8\over 9} R^H_i - R^H_{i-1} = 0}

Das Einsetzen die Lamdagleichung können wir uns hier sparen, da man sofort sieht, dass es mit dem Reziprokwert von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 8 \over 9} als Faktor klappen wird:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^H_i = c ({9 \over 8})^ i}

Das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^H_i} hat zwar um einen Faktor $9 \over 8$ mehr als das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^H_{i-1}} - der wird aber durch das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 8 \over 9} davor "anuliert". Das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} ist ein beliebiger Faktor, der dann aber später durch die Anfangsbedingung eingeschränkt werden wird...

Partikuläre Lösung

Als Ansatz wird sich hier folgendes bewähren, da rechts vom = das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} liniear vorkommt:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^P_i = x i + y}

Gesucht wird jetzt ein passendes Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} und Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} durch Einsetzen:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {8\over 9} (x i + y) - ((i-1) x + y) = {8\over 9}(k_0 - i)}
${8 \over 9}(xi+y)-(xi-x+y)={8 \over 9}(k_{0}-i)$
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -{1\over 9} x i -{1\over 9} y + x = {8\over 9} k_0 -{8\over 9} i}

Jetzt entledigen wir uns dem lästigen Neuntel durch Multiplizieren von 9:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -x i - y + 9 x = 8 k_0 - 8 i}

Jetzt sieht man, dass Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -x = -8} (wegen dem Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} ) - und wir setzen ein, was sein muss ( Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=8} ):

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -y + 72 = 8 k_0}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = 72 - 8 k_0}

Die (eine) Partikuläre Lösung ist somit:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^P_i = 8 i + 72 - 8 k_0}

Gesamtlösung für $R_{i}$

Die Gesamtlösung ist die Summe der homogenen und einer parikulären Lösung:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_i = c ({9\over 8})^i + 8 i + 72 - 8 k_0}

Aus der Anfangsbedingung Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0 = k_0} können wir nun das c bestimmen:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_0 = R_0 = c\cdot 1 + 8\cdot 0 + 72 - 8 k_0}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_0 = c + 72 - 8 k_0}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c = 9 k_0 - 72 = 9 (k_0 - 8)}