NMMRUS 56 Loesung

Von Inverness bis Glasgow

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I=Inverness G=Glasgow K=Kutsche Z=Zug

Die Indizes K und Z stehen für Kutsche bzw. Zug. v ist eine Geschwindigkeit - s ohne Index ist der Weg von Inverness bis Glasgow in Meilen. $s_{k}$ , $s_{z}$ sind die Wege, die Kutsche bzw. Zug zurückgelegt haben, wenn sie sich treffen. Wenn sie sich treffen, dann sind seit der Abfahrt t Stunden vergangen. Gefragt ist nach $s_{z}$ das ist die Entfernung vom Zug nach Glasgow (der Zug fuhr in Glasgow weg).

1) $v_{k}\cdot t=s_{k}$
2) $v_{z}\cdot t=s_{z}$

Aus der Angabe wissen wir, dass $s_{k}$ um soviel Meilen größer als $s_{z}$ ist wieviel Stunden seit der Abfahrt vergangen sind. D.h.

3) $s_{k}-s_{z}=t$

Zusammen folgt

4) $v_{k}\cdot (s_{k}-s_{z})=s_{k}$
5) $v_{z}\cdot (s_{k}-s_{z})=s_{z}$

Ausmultiplizieren

6) $v_{k}\cdot s_{k}-v_{k}\cdot s_{z}=s_{k}$
7) $v_{z}\cdot s_{k}-v_{z}\cdot s_{z}=s_{z}$

Die s zusammenfassen und die "Minusse" auf die andere Seite

8) $(v_{k}-1)\cdot s_{k}=v_{k}\cdot s_{z}$
9) $v_{z}\cdot s_{k}=(v_{z}+1)\cdot s_{z}$

Jetzt schaufeln wir alles so herum, dass auf einer Seite $s_{k} \over s_{z}$ stehen bleibt.

10) ${s_{k} \over s_{z}}={v_{k} \over {v_{k}-1}}$
11) ${s_{k} \over s_{z}}={{v_{z}+1} \over v_{z}}$

Jetzt wo die linken Seiten gleich sind, sind es auch die rechten.

12) ${v_{k} \over {v_{k}-1}}={{v_{z}+1} \over v_{z}}$

Auflösen der Summen in den Brüchen über einen Zwischenschritt - falls man es nicht gleich sieht.

13) ${{(v_{k}-1)+1} \over {(v_{k}-1)}}={{v_{z}+1} \over v_{z}}$

Jetzt ist's leicht:

14) $1+{1 \over {v_{k}-1}}=1+{1 \over v_{z}}$

Auf beiden Seiten 1 subtrahieren.

15) ${1 \over {v_{k}-1}}={1 \over v_{z}}$

Reziprokwert auf beiden Seiten (die Nenner sind sicher nicht Null).

16) $v_{k}-1=v_{z}$

Aus der Forderung "Als wir uns unterwegs trafen, waren wir von Invernesse um soviel Meilen weiter entfernt als von Glasgow, wie die genaue Anzahl Stunden, die wir schon unterwegs waren." folgt offenbar dass die Kutsche um 1 Mile/h schneller fährt als der Zug.