NMMRUS 90 Loesung

Wie breit muss der Streifen sein?

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Also, das Feld hat die Länge L und die Breite B - die gesuchte Breite des Streifens sei x. Die ungemähte Fläche (die in der Mitte über bleibt) ist L-2x lang und B-2x breit. Die Fläche in der Mitte soll genau halb so groß sein, wie die Fläche des gesamten Feldes.

${{LB} \over 2}=(L-2x)\cdot (B-2x)$

Bevor wir weiterrechnen - eine kleine (sicher einsichtige) Bedingung:

$B>2x$
$L>2x$

${{LB} \over 2}=LB-2x\cdot (L+B)+4x^{2}$

Weil ich mir die "große" Formel für die quadratische Gleichung nicht merken kann dividiere ich jetzt durch 4.

$x^{2}-{{L+B} \over 2}\cdot x+{LB \over 8}=0$

$x_{1,2}={{L+B} \over 4}\pm {\sqrt {({{L+B} \over 4})^{2}-{LB \over 8}}}$

$x_{1,2}={{L+B} \over 4}\pm {\sqrt {{L^{2}+2LB+B^{2}-2LB} \over 16}}$

$x_{1,2}={{L+B} \over 4}\pm {{\sqrt {L^{2}+B^{2}}} \over 4}$

$x_{1,2}={{L+B\pm {\sqrt {L^{2}+B^{2}}}} \over 4}$

$D={\sqrt {L^{2}+B^{2}}}$ ist die Diagonale des Rechtecks. Aber müssen wir sie abziehen - oder dazuzählen - oder ist es gar egal - also beides richtig? Aus der Bedingung B > 2x folgt, dass wir die Diagonale abziehen müssen, weil (ohne Beschränkung der Allgemeinheit $L\geq B$ - die Länge hieße nicht Länge, wenn sie nicht länger wäre):

$2x={{L+B+D} \over 2}<B$

Da $L\geq B$ und $D\geq B$ ist, ist

${{L+B+D} \over 2}\geq {{B+B+B} \over 2}$

Und zusammen

${{B+B+B} \over 2}<B$

${3 \over 2}\cdot B<B$

${3 \over 2}<1$

Ups - das kann nicht sein => die Diagonale muss abgezogen werden.

$x={{L+B-D} \over 4}$

Aber selbst, wenn wir das $x_{2}$ nehmen, das durch Addieren der Diagonale berechnet wird, erhalten wir den richtigen Streifen! - wir messen dann das x einfach über die Mitte hinweg zur anderen Seite.