NMMRUS 99 Loesung

Wie er seine Herde aufteilte

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Am besten wir das Pferd in diesem Fall von Hinten aufgezäumt. D.h. man betrachtet den jüngsten Sohn (der als Letzer d'rankommt), dann den nächstätesten, der davor d'ran war usw. Der jüngste Sohn hat den Index 0, der zweitjüngste den Index 1, ... der älteste Sohn hat den Index n und es gibt n Söhne.

$F_{i}$ sind die Kühe, die die Familie i erhält (Sohn + Frau) - $R_{i}$ ist der Rest der Kühe, die für Familie i zur Verfügung stehen (auch, wenn sie nicht immer alle nimmt - es gibt ja ev. noch jüngere Brüder). $R_{n-1}$ sind die Kühe, die dem ältesten Sohn zur Verfügung stehen - also alle Kühe, die der Farmer vererbt. Es wird sowohl nach dem $R_{n-1}$ (Anzahl der Kühe) als auch nach dem $n$ (Anzahl der Söhne) gefragt.

Was wissen wir

Der jüngste (letze) Sohn nimmt $k_{0}$ Kühe ($k_{0}$ ist jetzt nur eine Natürliche Zahl, für die wir später dann noch Bedingungen finden werden), danach sind keine mehr über - auch nicht für seine Frau. Das ist die Anfangsbedingung.

$F_{0}=R_{0}=k_{0}$

Der Sohn i nimmt $k_{0}-i$ Kühe. Da wir verkehrt zählen, nimmt der Sohn, der vorher dran ist (der mit dem höheren Index) eine Kuh weniger als, der der nachher dran ist. Seine Frau bekommt ein Neuntel, von dem Rest, der dann noch über ist. Für den Rest, der dann noch über ist, müssen wir die Kühe, die der Sohn nimmt vorher abziehen und erhalten folgende Bezieheung für die Menge an Kühen, die die Familie i erhält:

$F_{i}=k_{0}-i+{{R_{i}-(k0-i)} \over 9}$

Das Neuntel von den $k_{0}-i$ läßt sich herausheben und von dem "Einser" abziehen, dann sind es $8 \over 9$ und die Fomel sieht etwas besser aus:

$F_{i}=(k_{0}-i){8 \over 9}+{R_{i} \over 9}$

Dem Sohn, der nachher drankommt (der mit dem niedrigeren Index) bleiben um soviel Kühe weniger als die Familie vorher bekommen hat. Das führ zu einer Beziehung zwischen den $R_{i}$'s:

$R_{i-1}=R_{i}-F_{i}$

Einsetzen vom $F_{i}$ von dem wir ja schon 'was wissen:

$R_{i-1}=R_{i}-(k_{0}-i){8 \over 9}+{R_{i} \over 9}$

Das Neuntel vom rechteren $R_{i}$ kann man wieder mit dem "Einser" vor dem linkeren $R_{i}$ zusammen fassen und erhält:

$R_{i-1}={8 \over 9}R_{i}-{8 \over 9}(k_{0}-i)$

Differenzengleichung

Durch ein klein wenig Umformung erhalten wir eine klassische imhonogen Differenzengleichung. Dazu müssen nur alle $R_{i}$'s auf eine Seite:

$R_{0}=k_{0}$
${8 \over 9}R_{i}-R_{i-1}={8 \over 9}(k_{0}-i)$

Derartige Differenzgleichungen löst man, indem man die homogene Variante (da sthet rechts = 0) auflöst, dann eine partikuläre Lösung findet. Das Gesamtergebnis ist die Summe der homogenen und der parikulären Lösung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung.

Homogene Lösung

${8 \over 9}R_{i}^{H}-R_{i-1}^{H}=0$

Das Einsetzen die Lamdagleichung können wir uns hier sparen, da man sofort sieht, dass es mit dem Reziprokwert von $8 \over 9$ als Faktor klappen wird:

$R_{i}^{H}=c({9 \over 8})^{i}$

Das $R_{i}^{H}$ hat zwar um einen Faktor $9 \over 8$ mehr als das $R_{i-1}^{H}$ - der wird aber durch das $8 \over 9$ davor "anuliert". Das $c$ ist ein beliebiger Faktor, der dann aber später durch die Anfangsbedingung eingeschränkt werden wird...

Partikuläre Lösung

Als Ansatz wird sich hier folgendes bewähren, da rechts vom = das $i$ liniear vorkommt:

$R_{i}^{P}=xi+y$

Gesucht wird jetzt ein passendes $x$ und $y$ durch Einsetzen:

${8 \over 9}(xi+y)-((i-1)x+y)={8 \over 9}(k_{0}-i)$
${8 \over 9}(xi+y)-(xi-x+y)={8 \over 9}(k_{0}-i)$
$-{1 \over 9}xi-{1 \over 9}y+x={8 \over 9}k_{0}-{8 \over 9}i$

Jetzt entledigen wir uns dem lästigen Neuntel durch Multiplizieren von 9:

$-xi-y+9x=8k_{0}-8i$

Jetzt sieht man, dass $-x=-8$ (wegen dem $i$) - und wir setzen ein, was sein muss ( $x=8$ ):

$-y+72=8k_{0}$
$y=72-8k_{0}$

Die (eine) Partikuläre Lösung ist somit:

$R_{i}^{P}=8i+72-8k_{0}$

Gesamtlösung für $R_{i}$

Die Gesamtlösung ist die Summe der homogenen und einer parikulären Lösung:

$R_{i}=c({9 \over 8})^{i}+8i+72-8k_{0}$

Aus der Anfangsbedingung $R_{0}=k_{0}$ können wir nun das c bestimmen:

$k_{0}=R_{0}=c\cdot 1+8\cdot 0+72-8k_{0}$
$k_{0}=c+72-8k_{0}$
$c=9k_{0}-72=9(k_{0}-8)$

Gesamtlösung für $R_{i}$

Die Gesamtlösung ist die Summe der homogenen und einer parikulären Lösung:

$R_{i}=c({9 \over 8})^{i}+8i+72-8k_{0}$

Aus der Anfangsbedingung $R_{0}=k_{0}$ können wir nun das c bestimmen:

$k_{0}=R_{0}=c\cdot 1+8\cdot 0+72-8k_{0}$
$k_{0}=c+72-8k_{0}$
$c=9k_{0}-72=9(k_{0}-8)$

Die fast schlussendliche Formel für das $R_{i}$ lautet somit:

$R_{i}=9(k_{0}-8)({9 \over 8})^{i}+8i+72-8k_{0}$

Das ist die allgemeine Form für die Kuhreste der jeweiligen Familie $i$ ! Diese Formel erfüllt folgende Bedingung der Angabe: Der nächste Sohn nimmt eine Kuh mehr und seine Frau erhällt ein Neuntel des "Rests". Die letzte Frau bekommt nichts.

Impliziet steckt aber eine nicht genannte bedingung in der Angabe - nähmlich, dass es sich mit dem Divieren durch 9 immer ausgehen wird. Die obige Formel produziert ev. Achtel Kühe für die jeweiligen Reste.

Wenn man sich obige Formel ansieht, dann muss entweder $(k_{0}-8)$ genügend oft durch 8 teilbar sein - oder $(k_{0}-8)$ gleich Null sein.

Fall A

$k_{0}-8=0$
$k_{0}=8$

$R_{i}^{A}=8i+72-64$
$R_{i}^{A}=8i+8$
$R_{i}^{A}=8(i+1)$

Viel weiter oben haben wir auch die Bedingung für die $F_{i}$.

$F_{i}^{A}=R_{i}^{A}-R_{i-1}^{A}$
$F_{i}^{A}=8(i+1)-8(i-1+1)$
$F_{i}^{A}=8i+8-8i$
$F_{i}^{A}=8$

Hmmm - jede Familie bekommt gleich viel Kühe - nämlich 8. Was heißt das für die 7 Pferde? Da jede Familie schon den gleichen Wert an Kühen hat - geht sich das nur aus, wenn jede Famile ein Pferd bekommt (denn Sieben ist nicht teilbar). Woraus unmittelbar folgt, dass es 7 Söhne sind und somit $n=7$. Die ursprüngliche Anzahl der Kühe ist $R_{n-1}$.

$R_{n-1}^{A}=R_{6}^{A}=8(6+1)=8\cdot 7=56$

Fall B

Es gibt aber noch eine Möglichkeit: $(k_{0}-8)$ ist genügend oft durch 8 teilbar. Genügend oft heißt $n-1$ mal.

$k_{0}-8=z_{0}\cdot 8^{n-1}$
$k_{0}=z_{0}\cdot 8^{n-1}+8$

Das $z_{0}$ kann jede beliebige, positive, ganze Zahl sein - später werden sich schon Einschränkungen ergeben.

$R_{i}=9(k_{0}-8)({9 \over 8})^{i}+8i+72-8k_{0}$

Was bedeutet das für die Familien - und wieviel bekommen sie?

$F_{i}=R_{i}-R_{i-1}$
$F_{i}=9(k_{0}-8)({9 \over 8})^{i}+8i+72-8k_{0}-9(k_{0}-8)({9 \over 8})^{i-1}-8(i-1)-72+8k_{0}$
$F_{i}=9(k_{0}-8)({9 \over 8})^{i}-{9 \over 8})^{i-1})+8$
$F_{i}=9(k_{0}-8)({{9\cdot 9^{i-1}-8\cdot 9^{i-1}} \over {8^{i}}})+8$
$F_{i}=9(k_{0}-8)9^{i-1}({1 \over {8^{i}}})+8$
$F_{i}=(k_{0}-8)({9 \over 8})^{i}+8$

Da ${9 \over 8}>1$ bkommen die Familien der älteren Söhne mehr Kühe $i>j\Rightarrow F_{i}>F_{j}$. D.h. $F_{n-1}$ ist die Maximalanzahl an Kühen, die verteilt werden. Damit man das mit den Pferden ausgleichen kann wollen wir nun wissen um wieviele Kühe die Familie $i$ weniger bekommt als die Familie $n-1$:

$\Delta _{i}=F_{n-1}-F_{i}$
$\Delta _{i}=(k_{0}-8)(({9 \over 8})^{n-1}-({9 \over 8})^{i})$
$\Delta _{i}=(k0-8)9^{i}{{9^{n-i-1}-8^{n-i-1}} \over {8^{n-1}}}$

Vorhin hatten wir festgestellt, dass $k_{0}-8=z_{0}\cdot 8^{n-1}$ ist.

$\Delta _{i}=z_{0}\cdot 8^{n-1}9^{i}{{9^{n-i-1}-8^{n-i-1}} \over {8^{n-1}}}$
$\Delta _{i}=z_{0}\cdot 9^{i}(9^{n-i-1}-8^{n-i-1})$

Jetzt hilft nur eine kurze Tabelle weiter, die die $\Delta _{i}$'s in Abhängigkeit von $n$ zeigt.

$n$	$\Delta _{0}$	$\Delta _{1}$	$\Delta _{2}$	$\Delta _{3}$
1	0
2	$z_{0}$	0
3	$17z_{0}$	$z_{0}$	0
4	$217z_{0}$	$17z_{0}$	$z_{0}$	0

Schon in der dritten Zeile ist klar, dass es sich so nicht ausgehen wird, denn der letzte Sohn hat schon um 17 Kühe weniger als der erste - dazu wären zum Ausgleich 8.5 Pferde nötig - es gibt aber nur 7 Pferde. Für größere $n$ wir die ganze Sache nur noch ärger. Darum geht es nur mit Zeile zwei und $n=2$ - da bekommt der jünger Sohn um $z_{0}$ Kühe weniger. Da Kühe halb soviel Wert sind wie Pferde muss $z_{0}=14$ sein. Somit wissen wir:

$k_{0}=z_{0}\cdot 8^{n-1}+8=14\cdot 8^{1}+8=120$
$R_{n-1}=R_{1}=9(k_{0}-8)({9 \over 8})^{1}+72-8k_{0}$
$R_{1}=9\cdot 112\cdot {9 \over 8}+72+8\cdot 120$
$R_{1}=254$