Difference between revisions of "NMMRUS 95 Loesung"

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Somit kann man sich jetzt die Anzahl der Rosen, die jedes Mädchen am Schluss hat errechnen - das ist das <math>n_1</math>:
 
Somit kann man sich jetzt die Anzahl der Rosen, die jedes Mädchen am Schluss hat errechnen - das ist das <math>n_1</math>:
  
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<math>n_1 = 4 \cdot p_1 = 4 \cdot {1 \over 4} \cdot p_0 = p_0</math>
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<math>n_1 = (p_1+w_1+r_1+b_1) = 4 \cdot p_1 = 4 \cdot {1 \over 4} \cdot p_0 = p_0</math>
  
 
Die 9 Musen haben zusammen <math>9\cdot a_0</math> goldene Äpfel - ein zwölftel dieser Menge ist die Anzahl der goldenen Äpfel jedes Mädchens zum Schluss:
 
Die 9 Musen haben zusammen <math>9\cdot a_0</math> goldene Äpfel - ein zwölftel dieser Menge ist die Anzahl der goldenen Äpfel jedes Mädchens zum Schluss:
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<math>3 \mid p_0</math>
 
<math>3 \mid p_0</math>
  
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Die Musen vereilen ihre Äpfel an 3 Grazien, darum muss die Anzahl der Äpfel, die sie hergeben durch 3 teilbar sein:
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Die Musen verteilen ihre Äpfel an 3 Grazien, darum muss die Anzahl der Äpfel, die sie hergeben durch 3 teilbar sein:
  
 
<math>3 \mid (a_0 - a_1)</math><br/>
 
<math>3 \mid (a_0 - a_1)</math><br/>
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<math>3 \mid a_0</math>
 
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Die Anzahl der Rosen (rosa, weiß, rot und blau), die jedes Mädchen am Schluss hat ist gleich der Anzahl der goldenen Äpfel, die es am Schluss hat.
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<math>n_1 = a_1</math><br/>
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<math>n_1 = p_0</math><br/>
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<math>a_1 = {3 \over 4} \cdot a_0</math><br/>
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<math>{3 \over 4} \cdot a_0 = p_0</math><br/><br/>
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<math>{a_0 \over 4} = {p_0 \over 3}</math>
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Von weiter oben wissen wir, dass sowohl 3 als auch 4 <math>p_0</math> bzw. <math>a_0</math> teilen. D.h. diese Zahlen haben die Faktoren 3 und 4 (3 und 4 sind Teilerfremd) und noch irgendeinen Faktor.
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<math>a_0 = k \cdot 3 \cdot 4</math><br/>
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<math>p_0 = i \cdot 3 \cdot 4</math>
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Oben eingesetzt
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<math>{{k \cdot 3 \cdot 4} }over 4} = {{i \cdot 3 \cdot 4} \over 3}</math>
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Die kleinsten Zahlen mit denen das aufgeht sind <math>k = 4</math> und <math>i = 3</math> . Somit
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<math>a_0 = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48</math><br/>
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<math>p_0 = 3 \cdot 3 \cdot 4 = 36</math>

Revision as of 12:48, 21 December 2013

Wieviel Äpfel und Rosen erhielt jede?

zurück zur Aufgabenstellung

Hatten alle Mädchen zu Beginn gleich viele Dinge?

Hatte jede Grazie zu Beginn gleich viele rote Rosen? Hatte z.B. jede Grazie 12 rote Rosen - oder geht es auch, dass die erste Grazie 15 rote Rosen hatte, die zweite 24 und die dritte 33? Dann habe sie diese (unterschiedlicheh Dinge), der Aufgabenstellung entsprechend verteilt und zum Schluss hat dann jedes Mädchen gleich viel Dinge gehabt.

Das ginge sich aus! Die erste gibt von den 15 9 her und behält 6 - die zweite gibt von den 24 18 her und behält 6 - die dritte gibt von den 33 27 her und behält auch 6. Somit hat jede Muse von der ersten Grazie 1, von der zweiten 2, von der dritten 3 rote Rosen bekommen - jede Muse hat dann auch 6 rote Rosen.

Laut Angabe ist es nicht einmal gefordert, dass eine Grazie jeder Muse die gleiche Anzahl an Rosen gibt. Dass jede Grazie besser jeder Muse die gleiche Anzahl an Rosen gibt folgt implizit, da ja am Schluss alle Grazien gleich viele Rosen haben müssen. Wenn also eine Graze einer Muse weniger Rosen gibt, als einer anderen, dann muss eine andere Muse ihre Rosen genau umgekehrt verteilen, sodass am Schluss jede Muse gleich viele Rosen hat. Das geht aber auch mit der gleichen Anzahl an Rosen, wenn gleich jede Grazie jeder Muse die gleiche Anzahl an Rosen gibt,

Aktuell kann nicht ausgeschlossen werden, dass die Mädchen zu Beginn eine verschiedene Anzahl an Dingen hatten und eine verschiedene Anzahl an Dingen hergaben. Am Schluss (der Rechnung) wird sich aber zeigen, dass mit der Annahme, dass wenn zu Beginn die gleiche Anzahl an Dingen vorlag, das dadurch erreichbare Minimum nicht durch eine andere Verteilung unterschritten werden kann.

D.h. es wird angenommen, dass schon zu Beginn jede Muse gleich viele Rosen hatte, wie die anderen Musen und, dass jede Grazie zu Beginn gleich viele Äpfel hatte, wie die anderen Grazien.

Namen der Unbekannten

Ich gebe jetzt all den Dingen einen Buchstaben und einen Index. Der Index 0 bedeutet "zu Beginn", der Index 1 bedeutet "zum Schluss". Die Buchstaben sind die Anfangsbuchstaben der Dinge. Da rosa und rot, den gleichen Buchstaben haben, nenne ich die Anzahl der rosa Rosen p - p wie pink.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_0}
Anzahl rosa Rosen jeder Grazie zu Beginn
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_1}
Anzahl rosa Rosen jedes Mädchens zum Schluss
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_0}
Anzahl weißer Rosen jeder Grazie zu Beginn
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_1}
Anzahl weißer Rosen jedes Mädchens zum Schluss
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_0}
Anzahl roter Rosen jeder Grazie zu Beginn
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_1}
Anzahl roter Rosen jedes Mädchens zum Schluss
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_0}
Anzahl blauer Rosen jeder Grazie zu Beginn
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_1}
Anzahl blauer Rosen jedes Mädchens zum Schluss
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_0}
Anzahl goldener Äpfel jeder Muse zu Beginn
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1}
Anzahl goldener Äpfel jedes Mädchens zum Schluss
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_1}
Anzahl Rosen (rosa, weiß, rot und blau zusammen) jedes Mädchens zum Schluss

Herleitung

Ich betrachte vorerst nur die rosa Rosen. Später wird sich zeigen, dass die weißen, roten und blauen Rosen die genau gleiche Anzahl haben müssen.

Wenn jede Grazie zu Beginn Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_0} rosa Rosen hat, dann gibt es insgesamt Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3 \cdot p_0} rosa Rosen. Da am Schluss jedes Mädchen genau gleich viele rosa Rosen haben muss und es Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3+9=12} Mädchen gibt, folgt daraus:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_1 = {{3 \cdot p_0} \over 12} = {1 \over 4} \cdot p0}

Daraus folgt unmittelbar, dass Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_0} durch 4 teilbar sein muss:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4 \mid p_0}

Aus der Formel davor folgt aber auch, dass Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_1} linear von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_0} abhängt. Genauso, wie für die w, r und b. Wenn aber die p, w, r und b am Schluss gleich groß sein müssen, dann auch die p, w, r und b zu Beginn:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_1 = w_1 = r_1 = b_1 \Rightarrow p_0 = w_0 = r_0 = b_0}

Somit kann man sich jetzt die Anzahl der Rosen, die jedes Mädchen am Schluss hat errechnen - das ist das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_1} :

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_1 = (p_1+w_1+r_1+b_1) = 4 \cdot p_1 = 4 \cdot {1 \over 4} \cdot p_0 = p_0}

Die 9 Musen haben zusammen Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 9\cdot a_0} goldene Äpfel - ein zwölftel dieser Menge ist die Anzahl der goldenen Äpfel jedes Mädchens zum Schluss:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1 = {{9\cdot a_0} \over 12} = {3 \over 4} \cdot a_0}

Woraus wieder folgt, dass auch Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_0} durch 4 teilbar sein muss:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4 \mid a_0}

Da jede Grazie jeder Muse gleich viele rosa Rosen gibt (das haben wir ganz oben vorläufig angenommen), muss diese Zahl durch 9 teilbar sein. Die Anzahl der rosa Rosen, die jede Grazie hergibt ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_0 - p_1} .

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 9 \mid (p_0 - p_1)}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 9 \mid \left (p_0 - {1 \over 4} \cdot p_0 \right )}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 9 \mid \left ( {3 \over 4} \cdot p0 \right )}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3 \mid \left ( {1 \over 4} \cdot p0 \right )}

Da 3 und 4 keine gemeinsamen Teiler haben teilt 3 somit Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_0}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3 \mid p_0}

Die Musen verteilen ihre Äpfel an 3 Grazien, darum muss die Anzahl der Äpfel, die sie hergeben durch 3 teilbar sein:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3 \mid (a_0 - a_1)}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3 \mid \left (a_0 - {3 \over 4} \cdot a_0 \right )}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3 \mid \left ({1 \over 4} \cdot a_0 \right )}

Gleiches Argument, wie bei Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_0}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3 \mid a_0}

Die Anzahl der Rosen (rosa, weiß, rot und blau), die jedes Mädchen am Schluss hat ist gleich der Anzahl der goldenen Äpfel, die es am Schluss hat.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_1 = a_1}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_1 = p_0}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1 = {3 \over 4} \cdot a_0}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {3 \over 4} \cdot a_0 = p_0}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {a_0 \over 4} = {p_0 \over 3}}

Von weiter oben wissen wir, dass sowohl 3 als auch 4 Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_0} bzw. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_0} teilen. D.h. diese Zahlen haben die Faktoren 3 und 4 (3 und 4 sind Teilerfremd) und noch irgendeinen Faktor.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_0 = k \cdot 3 \cdot 4}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_0 = i \cdot 3 \cdot 4}

Oben eingesetzt

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{k \cdot 3 \cdot 4} }over 4} = {{i \cdot 3 \cdot 4} \over 3}}

Die kleinsten Zahlen mit denen das aufgeht sind Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k = 4} und Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i = 3} . Somit

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_0 = 4 \cdot 3 \cdot 4 = 48}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_0 = 3 \cdot 3 \cdot 4 = 36}

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