NMMRUS 99 Loesung

Wie er seine Herde aufteilte

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Am besten wir das Pferd in diesem Fall von Hinten aufgezäumt. D.h. man betrachtet den jüngsten Sohn (der als Letzer d'rankommt), dann den nächstätesten, der davor d'ran war usw. Der jüngste Sohn hat den Index 0, der zweitjüngste den Index 1, ... der älteste Sohn hat den Index n und es gibt n Söhne.

$F_{i}$ sind die Kühe, die die Familie i erhält (Sohn + Frau) - $R_{i}$ ist der Rest der Kühe, die für Familie i zur Verfügung stehen (auch, wenn sie nicht immer alle nimmt - es gibt ja ev. noch jüngere Brüder). $R_{n-1}$ sind die Kühe, die dem ältesten Sohn zur Verfügung stehen - also alle Kühe, die der Farmer vererbt. Es wird sowohl nach dem $R_{n-1}$ (Anzahl der Kühe) als auch nach dem $n$ (Anzahl der Söhne) gefragt.

Was wissen wir

Der jüngste (letze) Sohn nimmt $k_{0}$ Kühe, danach sind keine mehr über - auch nicht für seine Frau. Das ist die Anfangsbedingung.

$F_{0}=R_{0}=k_{0}$

Der Sohn i nimmt $k_{0}-i$ Kühe. Da wir verkehrt zählen, nimmt der Sohn, der vorher dran ist (der mit dem höheren Index) eine Kuh weniger als, der der nachher dran ist. Seine Frau bekommt ein Neuntel, von dem Rest, der dann noch über ist. Für den Rest, der dann noch über ist, müssen wir die Kühe, die der Sohn nimmt vorher abziehen und erhalten folgende Bezieheung für die Menge an Kühen, die die Familie i erhält:

$F_{i}=k_{0}-i+{{R_{i}-(k0-i)} \over 9}$

Das Neuntel von den $k_{0}-i$ läßt sich herausheben und von dem "Einser" abziehen, dann sind es $8 \over 9$ und die Fomel sieht etwas besser aus:

$F_{i}=(k_{0}-i){8 \over 9}+{R_{i} \over 9}$