NMMRUS 95 Loesung

Wieviel Äpfel und Rosen erhielt jede?

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Hatten alle Mädchen zu Beginn gleich viele Dinge?

Hatte jede Grazie zu Beginn gleich viele rote Rosen? Hatte z.B. jede Grazie 12 rote Rosen - oder geht es auch, dass die erste Grazie 15 rote Rosen hatte, die zweite 24 und die dritte 33? Dann habe sie diese (unterschiedlicheh Dinge), der Aufgabenstellung entsprechend verteilt und zum Schluss hat dann jedes Mädchen gleich viel Dinge gehabt.

Das ginge sich aus! Die erste gibt von den 15 9 her und behält 6 - die zweite gibt von den 24 18 her und behält 6 - die dritte gibt von den 33 27 her und behält auch 6. Somit hat jede Muse von der ersten Grazie 1, von der zweiten 2, von der dritten 3 rote Rosen bekommen - jede Muse hat dann auch 6 rote Rosen.

Laut Angabe ist es nicht einmal gefordert, dass eine Grazie jeder Muse die gleiche Anzahl an Rosen gibt. Ich hab' mir die Angabe zig Mal durchgelesen und bin fest davon überzeugt, dass nur gefordert ist, dass alle Mädchen zum Schluss gleich viel Dinge haben, dass sie zu Beginn gleich viel Dinge haben, dass sie jeweils gleich viel Dinge austeilen ist nicht gefordert.

Die Lösung aus dem Rätselbuch ist aber so, als ob das gefordert wäre (dass alle gleich viel Dinge haben und jeweils austeilen). Darum rechne ich das zuerst auch so. Danach werde ich zeigen, dass es anders viel einfacher geht - aber nur, wenn man zuerst die symetrische Variante gerechnet hat und weiß, was herauskommt.

Namen der Unbekannten

Ich gebe jetzt all den Dingen einen Buchstaben und einen Index. Der Index 0 bedeutet "zu Beginn", der Index 1 bedeutet "zum Schluss". Die Buchstaben sind die Anfangsbuchstaben der Dinge. Da rosa und rot, den gleichen Buchstaben haben, nenne ich die Anzahl der rosa Rosen p - p wie pink.

$p_{0}$

Anzahl rosa Rosen jeder Grazie zu Beginn

$p_{1}$

Anzahl rosa Rosen jedes Mädchens zum Schluss

$w_{0}$

Anzahl weißer Rosen jeder Grazie zu Beginn

$w_{1}$

Anzahl weißer Rosen jedes Mädchens zum Schluss

$r_{0}$

Anzahl roter Rosen jeder Grazie zu Beginn

$r_{1}$

Anzahl roter Rosen jedes Mädchens zum Schluss

$b_{0}$

Anzahl blauer Rosen jeder Grazie zu Beginn

$b_{1}$

Anzahl blauer Rosen jedes Mädchens zum Schluss

$a_{0}$

Anzahl goldener Äpfel jeder Muse zu Beginn

$a_{1}$

Anzahl goldener Äpfel jedes Mädchens zum Schluss

$n_{1}$

Anzahl Rosen (rosa, weiß, rot und blau zusammen) jedes Mädchens zum Schluss

Symmetrische Herleitung

Ich betrachte vorerst nur die rosa Rosen. Später wird sich zeigen, dass die weißen, roten und blauen Rosen die genau gleiche Anzahl haben müssen.

Wenn jede Grazie zu Beginn $p_{0}$ rosa Rosen hat, dann gibt es insgesamt $3\cdot p_{0}$ rosa Rosen. Da am Schluss jedes Mädchen genau gleich viele rosa Rosen haben muss und es $3+9=12$ Mädchen gibt, folgt daraus:

$p_{1}={{3\cdot p_{0}} \over 12}={1 \over 4}\cdot p0$

Daraus folgt unmittelbar, dass $p_{0}$ durch 4 teilbar sein muss:

$4\mid p_{0}$

Aus der Formel davor folgt aber auch, dass $p_{1}$ linear von $p_{0}$ abhängt. Genauso, wie für die w, r und b. Wenn aber die p, w, r und b am Schluss gleich groß sein müssen, dann auch die p, w, r und b zu Beginn:

$p_{1}=w_{1}=r_{1}=b_{1}\Rightarrow p_{0}=w_{0}=r_{0}=b_{0}$

Somit kann man sich jetzt die Anzahl der Rosen, die jedes Mädchen am Schluss hat errechnen - das ist das $n_{1}$:

$n_{1}=(p_{1}+w_{1}+r_{1}+b_{1})=4\cdot p_{1}=4\cdot {1 \over 4}\cdot p_{0}=p_{0}$

Die 9 Musen haben zusammen $9\cdot a_{0}$ goldene Äpfel - ein Zwölftel dieser Menge ist die Anzahl der goldenen Äpfel jedes Mädchens zum Schluss:

$a_{1}={{9\cdot a_{0}} \over 12}={3 \over 4}\cdot a_{0}$

Woraus wieder folgt, dass auch $a_{0}$ durch 4 teilbar sein muss:

$4\mid a_{0}$

Da jede Grazie jeder Muse gleich viele rosa Rosen gibt (das haben wir ganz oben vorläufig angenommen), muss diese Zahl durch 9 teilbar sein. Die Anzahl der rosa Rosen, die jede Grazie hergibt ist $p_{0}-p_{1}$ .

$9\mid (p_{0}-p_{1})$
$9\mid \left(p_{0}-{1 \over 4}\cdot p_{0}\right)$
$9\mid \left({3 \over 4}\cdot p0\right)$
$3\mid \left({1 \over 4}\cdot p0\right)$

Da 3 und 4 keine gemeinsamen Teiler haben teilt 3 somit $p_{0}$

$3\mid p_{0}$

Die Musen verteilen ihre Äpfel an 3 Grazien, darum muss die Anzahl der Äpfel, die sie hergeben durch 3 teilbar sein:

$3\mid (a_{0}-a_{1})$
$3\mid \left(a_{0}-{3 \over 4}\cdot a_{0}\right)$
$3\mid \left({1 \over 4}\cdot a_{0}\right)$

Gleiches Argument, wie bei $p_{0}$

$3\mid a_{0}$

Die Anzahl der Rosen (rosa, weiß, rot und blau), die jedes Mädchen am Schluss hat ist gleich der Anzahl der goldenen Äpfel, die es am Schluss hat.

$n_{1}=a_{1}$
$n_{1}=p_{0}$
$a_{1}={3 \over 4}\cdot a_{0}$
${3 \over 4}\cdot a_{0}=p_{0}$

${a_{0} \over 4}={p_{0} \over 3}$

Von weiter oben wissen wir, dass sowohl 3 als auch 4 $p_{0}$ bzw. $a_{0}$ teilen. D.h. diese Zahlen haben die Faktoren 3 und 4 (3 und 4 sind Teilerfremd) und noch irgendeinen Faktor.

$a_{0}=k\cdot 3\cdot 4$
$p_{0}=i\cdot 3\cdot 4$

Oben eingesetzt

${{k\cdot 3\cdot 4} \over 4}={{i\cdot 3\cdot 4} \over 3}$

Die kleinsten Zahlen mit denen das aufgeht sind $k=4$ und $i=3$ . Somit

$a_{0}=4\cdot 3\cdot 4=48$
$p_{0}=3\cdot 3\cdot 4=36$

Was heißt das jetzt?

Zu Beginn hatte jede der drei Grazien 36 rosa, 36 weiße, 36 rote und 36 blaue Rosen. Von jeder Farbe hat sich jede 9 behalten und 27 hergegeben jede der neun Musen hat von jeder Grazie 3 Rosen von jeder Farbe bekommen. Da es drei Grazien waren, hat jede Muse also 9 Rosen jeder Farbe erhalten - genauso viele, wie sich die Grazien von jeder Farbe zurückbehalten haben.

Zu Beginn hatte jede Muse 48 goldene Äpfel. Jede Muse hat sich 36 goldene Äpfel behalten und 12 goldene Äpfel hergegeben, da es 3 Grazien waren, hat jede Grazie von jeder Muse 4 goldene Äpfel bekommen. 4 goldene Äpfel hat jede Grazie von jeder der neun Musen bekommen, somit hat dann jede Grazie 36 goldene Äpfel erhalten.

Von jeder Farbe, hat am Schluss jedes Mädchen 9 Rosen er- oder behalten - somit hat jedes Mädchen am Schluss 36 Rosen besessen - das ist die gleiche Anzahl, wie es goldene Äpfel hatte.

Insgesamt braucht man $36\cdot 12=432$ Rosen, jeweils $9\cdot 12=108$ rosa, weiße, rote und blaue. Man braucht auch insgesamt 432 goldene Äpfel.

Die Lösung aus dem Rätselbuch kommt auf das gleiche Ergebnis. Das ist aber (meiner Meinung nach) nicht die Minimallösung, die der Angabe genügt.

Asymmetrische Herleitung

Von vorher wissen wir, dass das Minimum an Dingen (Rosen und Äpfel) symmetrisch nur mit den obigen Zahlen geht. Dabei gibt jede Grazie jeder Muse 3 Rosen jeder Farbe. Jede Muse gibt jeder Grazie 4 goldene Äpfel. Mit diesen Zahlen "wer gibt wem was" ist alles gesagt - damit kann man sich den Rest ausrechnen - z.B. die Anzahl aller rosa Rosen: Jede Muse bekommt von jeder Grazie 3 rosa Rosen; es sind drei Grazien, somit bekommt jede Muse insgesamt 9 rosa Rosen. Insgesamt sind es zwölf Mädchen, die am Schluss 9 rosa Rosen haben. Zwölf mal 9 ist 108 rosa Rosen gibt es. Eine minimalere Lösung muss also eine sein, die mit weniger als 108 rosa Rosen auskommt.

Jede Muse bekommt bei der symmetrischen Variante (von drei Grazien) insgesamt 9 Rosen jeder Farbe. Geht's mit weniger als 9? Da laut Angabe jede Grazie Rosen austeilt, muss also jede Grazie mindesten eine Rose (jeder Farbe) hergeben. Da es drei Grazien sind bekommt jede Muse also mindestens 3 Rosen. Falls es eine Bessere Lösung gibt, dann bekommt jede Muse von allen Grazien mindestens 3 Rosen (jeder Farbe) und weniger als 9 (bei 9 ist die symmetrische Lösung von vorher minimal).

Man braucht es also nur für die Zahlen 3, 4, 5, 6, 7 und 8 probieren - das ist vielleicht mühsam, aber überschaubar. Da wir am Minimum interessiert sind, beginnen wir "unten" bei 3:

Die einzige Möglichkeit, wie eine Muse 3 Rosen (jeder Farbe) bekommen kann ist: Sie bekommt von jeder Grazie 1 Rose (jeder Farbe).

Jedes Mädchen soll am Schluss 3 Rosen (jeder Farbe) haben.

Die Grazien geben neun mal 1 Rose (jeder Farbe) her - 3 müssen sie sich behalten. Somit haben die Grazien 3+9=12 Rosen (jeder Farbe) und geben jeder Muse 1 Rose (jeder Farbe).

Ok. Das war nicht schwer. Wir müssen aber noch das mit den goldenen Äpfeln hinbekommen. Am Schluss soll es insgesamt gleich viel goldene Äpfel, wie Rosen aller Farben zusammen geben (egal ob insgesamt - oder pro Mädchen, da ja am Schluss alles gerecht verteilt sein soll). Rosen hat jedes Mädchen 3 (von jeder Farbe) mal 4 - somit hat jedes Mädchen 12 Rosen. Am Schluss muss also auch jedes Mädchen 12 goldene Äpfel haben.

Die 12 goldenen Äpfel, die jede Grazie am Schluss hat, bekommt sie von den neun Musen. Wie müssen die Musen die goldenen Äpfel austeilen, damit 12 herauskommt? Na, z.B. 1+1+1+1+1+1+2+2+2=12 - d.h. die ersten sechs Musen geben jeweils 1 goldenen Apfel jeder Grazie, die restlichen drei Musen geben jeweils 2 Äpfel jeder Muse.

Die ersten sechs Musen geben jeder der drei Grazien 1 goldenen Apfel und behalten sich 12. Somit haben sie zu Beginn 12+3=15 goldene Äpfel.

Die weiteren drei Musen geben jeder Grazie 2 goldene Äpfel und behalten sich auch 12. Somit haben sie zu Beginn $12+3\cdot 2=18$ goldene Äpfel.

Damit erhält jede Grazie jeweils 1 goldenen Apfel von den ersten sechs Musen und jeweils 2 goldene Äpfel von den restlichen drei Musen. Jede Grazie hat am Schluss ebenfalls $6\cdot 1+3\cdot 2=12$ goldene Äpfel.

Fertig - alles geht sich aus.

Wieviel ist ein paar?

Aber genügt diese Lösung wirklich der Angabe? Nein! In der Angabe steht "Jede Grazie gab jeder Muse ein paar Rosen; und dann gab jede Muse jeder Grazie ein paar Äpfel." Gibt man, wenn man bloß ein Ding hergibt "ein paar" Dinge her? Ich glaube, ein paar sind mindestens zwei (ein Paar sind genau zwei). Bei den Rosen geht das noch durch, denn es ist von Rosen die Rede und die Grazien geben zwar nur eine Rose jeder Farbe, aber insgesamt 4 Rosen her. Allerdings gibt es 6 Musen, die nur einen goldenen Apfel hergeben und somit genügt, die obigen Zahlen nicht der Angabe.

Probieren wir es von der Seite der Äpfel her. Wenn wir das Minimum suchen und jede Muse mindestens 2 goldene Äpfel hergeben muss, dann probieren wir es mit neun mal 2 Äpfel, jede Grazie bekäme dann 18 goldene Äpfel. Jede Muse gibt drei Grazien 2 goldene Äpfel und behält sich 18 - somit hat jede Muse zu Beginn $18+3\cdot 2=24$ goldene Äpfel.

Es müssen zusammen somit 18 Rosen sein, die jedes Mädchen am Schluss hat. Das ginge sich z.B. mit 4 rosa, 4 weißen und 5 roten und 5 blauen Rosen aus.

Zuerst die 4 (rosa, weiß): Weil von diesen beiden Farben jede Muse zusammen 4 von drei Grazien bekommen muss, geben zwei Grazien 1 Rose und eine Grazie 2 Rosen her.

Zwei Grazien haben zu Beginn 4+9=13 Rosen (jeweils rosa, weiß) - geben jeder der neun Musen 1 Rose und behalten sich 4.

Eine Grazie hat zu Beginn $4+9\cdot 2=22$ Rosen (jeweils rosa, weiß) - gibt jeder der neun Musen 2 Rosen und behält sich 4.

Von den rosa und weißen Rosen bekommt jede Muse jeweils 1 Rose von zwei Grazien und 2 Rosen von der dritten Grazie - somit hat jede Muse dann 4 Rosen von den Farben rosa und weiß.

Jetzt die 5 (rot, blau) Rosen: Diese 5 bekommt jede Muse indem sie von zwei Grazien 2 Rosen und von einer Grazie 1 Rose bekommt.

Eine Grazie hat zu Beginn 5+9=14 Rosen (jeweils in rot, blau) - gibt jeder Muse 1 Rose (jeweils rot, blau) und behält sich 5.

Zwei Grazien haben zu beginn $5+9\cdot 2=23$ Rosen (jeweils in rot, blau) - geben jeder Muse 2 Rosen (jeweils rot, blau) und behalten sich 5.

Von den roten und blauen Rosen bekommt jede Muse jeweils 1 Rose von einer Grazien und von zwei Grazien 2 Rosen, damit bekommt jede Muse 5 Rosen jeder der Farben rot und blau.

Für diese Lösung braucht man insgesamt $18\cdot 12=216$ Rosen - $4\cdot 12=48$ rosa, 48 weiße, $5\cdot 12=60$ rote und 60 blaue Rosen. Man braucht auch 216 goldene Äpfel - das sind weniger als bei der symetrischen Lösung!

Asymetrisch geht sich viel aus. Die Aufgabe lebt aber davon, dass sie symetrisch gerechnet werden soll, was aber leider in der Angabe vergessen wurde sinnvoll zu erwähnen.