Difference between revisions of "NMMRUS 56 Loesung"

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Die Indizes k und z stehen für Kutsche bzw. Zug. v ist eine Geschwindigkeit - s ohne Index ist der Weg von Inverness bis Glasgow in Meilen. <math>s_k</math> , <math>s_z</math> sind die Wege, die Kutsche bzw. Zug zurückgelegt haben, wenn sie sich treffen. Wenn sie sich treffen, dann sind seit der Abfahrt t Stunden vergangen. Gefragt ist nach <math>s_z</math> das ist die Entfernung vom Zug nach Glasgow (der Zug fuhr in Glasgow weg).
 
Die Indizes k und z stehen für Kutsche bzw. Zug. v ist eine Geschwindigkeit - s ohne Index ist der Weg von Inverness bis Glasgow in Meilen. <math>s_k</math> , <math>s_z</math> sind die Wege, die Kutsche bzw. Zug zurückgelegt haben, wenn sie sich treffen. Wenn sie sich treffen, dann sind seit der Abfahrt t Stunden vergangen. Gefragt ist nach <math>s_z</math> das ist die Entfernung vom Zug nach Glasgow (der Zug fuhr in Glasgow weg).
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16) <math>v_k - 1 = v_z</math>
 
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Aus der Forderung <i>"Als wir uns unterwegs trafen, waren wir von Invernesse um soviel Meilen weiter entfernt als von Glasgow, wie die genaue Anzahl Stunden, die wir schon unterwegs waren."</i> folgt offenbar dass die Kutsche um 1 Mile/h schneller fährt als der Zug.
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Aus der Forderung <i>"Als wir uns unterwegs trafen, waren wir von Invernesse um soviel Meilen weiter entfernt als von Glasgow, wie die genaue Anzahl Stunden, die wir schon unterwegs waren."</i> folgt offenbar dass die Kutsche um 1 Meile/h schneller fährt als der Zug.
  
 
Es gibt aber noch eine Forderung: <i>"Die Kutsche braucht 12 Stunden weniger als der Zug."</i>. Die Entfernung zwischen Inverness und Glasgow sei s.
 
Es gibt aber noch eine Forderung: <i>"Die Kutsche braucht 12 Stunden weniger als der Zug."</i>. Die Entfernung zwischen Inverness und Glasgow sei s.
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Die quadratische Gleichung nach <math>v_k</math> auflösen.
 
Die quadratische Gleichung nach <math>v_k</math> auflösen.
  
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26) <math>v_{k 1,2} = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + {s \over 12}}</math><br/>
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26) <math>v_{k 1,2} = {1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + {s \over 12}}</math><br/>
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27) <math>v_{k 1,2} = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{3 + s} \over 12}</math>
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s = 189
 
s = 189
  
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28) <math>v_{k 1,2} = -{1 \over 2} \pm \sqrt{{3 + 189} \over 12}</math><br/>
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33) <math>v_{k 2} = -3.5</math>
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34) <math>v_{k 2} = -4.5<math>
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Wir sind nur an positiven Geschwindigkeiten <math>v_k</math> interessiert.
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34) <math>v_k = 4.5</math><br/>
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35) <math>v_z = v_k - 1 = 3.5</math>
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Die Strecken sind proportional der Geschwindigkeiten - darum müssen sich die s so verhalten wie die v. Man kann das auch über t darstellen.
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36) <math>t = {s \over {v_k + v_z}}</math><br/><br/>
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37) <math>s_z = v_z \cdot t</math><br/><br/>
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38) <math>s_z = v_z \cdot {s \over {v_k + v_z}}</math><br/><br/>
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39) <math>s_z = 3.5 \cdot {189 \over {4.5 + 3.5}}</math><br><br/>
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41) <math>s_z = 82.6875</math>
  
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Wir sind nur an positiven Geschwindigkeiten <math>v_k</math> interessiert. Die Kutsche fährt (laut Zeichnung) nach rechts.
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Wenn sich Zug und Kutsche treffen, dann ist Glasgow 82.6875 Meilen entfernt - das ist die Strecke, die der Zug seit Glasgow zurückgelegt hat.
  
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35) <math>v_k = 3.5</math><br/>
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Gleich eine Probe.
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36) <math>v_z = v_k - 1 = 2.5</math>
 
  
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Die Strecken sind proportion der Geschwindigkeiten - darum müssen sich die s so verhalten wie die v. Man kann das auch über t darstellen.
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42) <math>s_k = v_k \cdot {s \over {v_k + v_z}}</math><br/><br/>
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43) <math>s_k = 4.5 \cdot {189 \over {4.5 + 3.5}}</math><br><br/>
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44) <math>s_k = 106.3125</math><br/>
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45) <math>s = s_z + s_k = 82.6875 + 106.3125 = 189</math>
  
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37) <math>t = {s \over {v_k + v_z}}</math><br/>
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Passt.
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38) <math>s_z = v_z \cdot t</math><br/>
 
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39) <math>s_z = v_z \cdot {s \over {v_k + v_z}}</math><br/>
 
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40) <math>s_z = 2.5 \cdot {189 \over {3.5 + 2.5}}</math><br>
 
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41) <math>s_z = </math>
 

Latest revision as of 16:35, 26 November 2007

Von Inverness bis Glasgow

zurück zur Aufgabenstellung

Die Indizes k und z stehen für Kutsche bzw. Zug. v ist eine Geschwindigkeit - s ohne Index ist der Weg von Inverness bis Glasgow in Meilen. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_k} , Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_z} sind die Wege, die Kutsche bzw. Zug zurückgelegt haben, wenn sie sich treffen. Wenn sie sich treffen, dann sind seit der Abfahrt t Stunden vergangen. Gefragt ist nach Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_z} das ist die Entfernung vom Zug nach Glasgow (der Zug fuhr in Glasgow weg).

1) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_k \cdot t = s_k}
2) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_z \cdot t = s_z}

Aus der Angabe wissen wir, dass Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_k} um soviel Meilen größer als Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_z} ist wieviel Stunden seit der Abfahrt vergangen sind. D.h.

3) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_k - s_z = t}

Zusammen folgt

4) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_k \cdot (s_k - s_z) = s_k}
5) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_z \cdot (s_k - s_z) = s_z}

Ausmultiplizieren

6) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_k \cdot s_k - v_k \cdot s_z = s_k}
7)

Die s zusammenfassen und die "Minusse" auf die andere Seite

8) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (v_k - 1) \cdot s_k = v_k \cdot s_z}
9) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_z \cdot s_k = (v_z + 1) \cdot s_z}

Jetzt schaufeln wir alles so herum, dass auf einer Seite Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_k \over s_z} stehen bleibt.

10) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {s_k \over s_z} = {v_k \over {v_k - 1}}}

11) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {s_k \over s_z} = {{v_z + 1} \over v_z}}

Wenn die linken Seiten gleich sind, sind es auch die rechten.

12) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {v_k \over {v_k - 1}} = {{v_z + 1} \over v_z}}

Auflösen der Summen in den Brüchen über einen Zwischenschritt - falls man es nicht gleich sieht.

13) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{(v_k - 1) + 1} \over {(v_k - 1)}} = {{v_z + 1} \over v_z}}

Jetzt ist's leicht:

14) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 + {1 \over {v_k - 1}} = 1 + {1 \over v_z}}

Auf beiden Seiten 1 subtrahieren.

15) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {1 \over {v_k - 1}} = {1 \over v_z}}

Reziprokwert auf beiden Seiten (die Nenner sind sicher nicht Null).

16) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_k - 1 = v_z}

Aus der Forderung "Als wir uns unterwegs trafen, waren wir von Invernesse um soviel Meilen weiter entfernt als von Glasgow, wie die genaue Anzahl Stunden, die wir schon unterwegs waren." folgt offenbar dass die Kutsche um 1 Meile/h schneller fährt als der Zug.

Es gibt aber noch eine Forderung: "Die Kutsche braucht 12 Stunden weniger als der Zug.". Die Entfernung zwischen Inverness und Glasgow sei s.

17) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = 189 = s_k + s_z}
18) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {s \over v_k} + 12 = {s \over v_z}}

Weil wir später auf beiden Seiten den Reziprokwert errechnen wollen - erzeugen wir jetzt auf der linken Seite eine sauberen Bruch, indem wir 12 mit Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_k} multiplizieren und dividieren.

19) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{s + 12 \cdot v_k} \over v_k} = {s \over v_z}}

Jetzt Reziprokwert.

20) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {v_k \over {s + 12 \cdot v_k}} = {v_z \over s}}

Mit s multiplizieren.

21) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{v_k \cdot s} \over {s + 12 \cdot v_k}} = v_z}

In Gleichung 16) haben wir schon Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_z} berechnet, die setzen wir jetzt ein.

22) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{v_k \cdot s} \over {s + 12 \cdot v_k}} = v_k - 1}

Mit Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s + 12 \cdot v_k} multiplizieren.

23) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_k \cdot s = (v_k - 1) \cdot (s + 12 \cdot v_k)}
24) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_k \cdot s = v_k \cdot s + 12 \cdot v_k^2 - s - 12 \cdot v_k}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_k \cdot s} fällt weg - weil auf beiden Seiten. Dann wird gleich durch 12 dividiert.

25) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_k^2 - v_k - {s \over 12} = 0}

Die quadratische Gleichung nach Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_k} auflösen.

26) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{k 1,2} = {1 \over 2} \pm \sqrt{{1 \over 4} + {s \over 12}}}
27) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{k 1,2} = {1 \over 2} \pm \sqrt{{3 + s} \over 12}}

s = 189

28) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{k 1,2} = {1 \over 2} \pm \sqrt{{3 + 189} \over 12}}
29) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{k 1,2} = {1 \over 2} \pm \sqrt{192 \over 12}}
30) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{k 1,2} = {1 \over 2} \pm \sqrt{16}}
31) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{k 1,2} = {1 \over 2} \pm 4}
32) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{k 1} = +4.5}
33) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{k 2} = -3.5}

Wir sind nur an positiven Geschwindigkeiten Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_k} interessiert.

34) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_k = 4.5}
35) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_z = v_k - 1 = 3.5}

Die Strecken sind proportional der Geschwindigkeiten - darum müssen sich die s so verhalten wie die v. Man kann das auch über t darstellen.

36) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t = {s \over {v_k + v_z}}}

37) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_z = v_z \cdot t}

38) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_z = v_z \cdot {s \over {v_k + v_z}}}

39)

41)

Wenn sich Zug und Kutsche treffen, dann ist Glasgow 82.6875 Meilen entfernt - das ist die Strecke, die der Zug seit Glasgow zurückgelegt hat.

Gleich eine Probe.

42)

43)

44)
45)

Passt.

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