Difference between revisions of "NMMRUS 56 Loesung"

Latest revision as of 16:35, 26 November 2007

Von Inverness bis Glasgow

Die Indizes k und z stehen für Kutsche bzw. Zug. v ist eine Geschwindigkeit - s ohne Index ist der Weg von Inverness bis Glasgow in Meilen. $s_{k}$ , $s_{z}$ sind die Wege, die Kutsche bzw. Zug zurückgelegt haben, wenn sie sich treffen. Wenn sie sich treffen, dann sind seit der Abfahrt t Stunden vergangen. Gefragt ist nach $s_{z}$ das ist die Entfernung vom Zug nach Glasgow (der Zug fuhr in Glasgow weg).

1) $v_{k}\cdot t=s_{k}$
2) $v_{z}\cdot t=s_{z}$

Aus der Angabe wissen wir, dass $s_{k}$ um soviel Meilen größer als $s_{z}$ ist wieviel Stunden seit der Abfahrt vergangen sind. D.h.

3) $s_{k}-s_{z}=t$

Zusammen folgt

4) $v_{k}\cdot (s_{k}-s_{z})=s_{k}$
5) $v_{z}\cdot (s_{k}-s_{z})=s_{z}$

Ausmultiplizieren

6) $v_{k}\cdot s_{k}-v_{k}\cdot s_{z}=s_{k}$
7) $v_{z}\cdot s_{k}-v_{z}\cdot s_{z}=s_{z}$

Die s zusammenfassen und die "Minusse" auf die andere Seite

8) $(v_{k}-1)\cdot s_{k}=v_{k}\cdot s_{z}$
9) $v_{z}\cdot s_{k}=(v_{z}+1)\cdot s_{z}$

Jetzt schaufeln wir alles so herum, dass auf einer Seite $s_{k} \over s_{z}$ stehen bleibt.

10) ${s_{k} \over s_{z}}={v_{k} \over {v_{k}-1}}$

11) ${s_{k} \over s_{z}}={{v_{z}+1} \over v_{z}}$

Wenn die linken Seiten gleich sind, sind es auch die rechten.

12) ${v_{k} \over {v_{k}-1}}={{v_{z}+1} \over v_{z}}$

Auflösen der Summen in den Brüchen über einen Zwischenschritt - falls man es nicht gleich sieht.

13) ${{(v_{k}-1)+1} \over {(v_{k}-1)}}={{v_{z}+1} \over v_{z}}$

Jetzt ist's leicht:

14) $1+{1 \over {v_{k}-1}}=1+{1 \over v_{z}}$

Auf beiden Seiten 1 subtrahieren.

15) ${1 \over {v_{k}-1}}={1 \over v_{z}}$

Reziprokwert auf beiden Seiten (die Nenner sind sicher nicht Null).

16) $v_{k}-1=v_{z}$

Aus der Forderung "Als wir uns unterwegs trafen, waren wir von Invernesse um soviel Meilen weiter entfernt als von Glasgow, wie die genaue Anzahl Stunden, die wir schon unterwegs waren." folgt offenbar dass die Kutsche um 1 Meile/h schneller fährt als der Zug.

Es gibt aber noch eine Forderung: "Die Kutsche braucht 12 Stunden weniger als der Zug.". Die Entfernung zwischen Inverness und Glasgow sei s.

17) $s=189=s_{k}+s_{z}$
18) ${s \over v_{k}}+12={s \over v_{z}}$

Weil wir später auf beiden Seiten den Reziprokwert errechnen wollen - erzeugen wir jetzt auf der linken Seite eine sauberen Bruch, indem wir 12 mit $v_{k}$ multiplizieren und dividieren.

19) ${{s+12\cdot v_{k}} \over v_{k}}={s \over v_{z}}$

Jetzt Reziprokwert.

20) ${v_{k} \over {s+12\cdot v_{k}}}={v_{z} \over s}$

Mit s multiplizieren.

21) ${{v_{k}\cdot s} \over {s+12\cdot v_{k}}}=v_{z}$

In Gleichung 16) haben wir schon $v_{z}$ berechnet, die setzen wir jetzt ein.

22) ${{v_{k}\cdot s} \over {s+12\cdot v_{k}}}=v_{k}-1$

Mit $s+12\cdot v_{k}$ multiplizieren.

23) $v_{k}\cdot s=(v_{k}-1)\cdot (s+12\cdot v_{k})$
24) $v_{k}\cdot s=v_{k}\cdot s+12\cdot v_{k}^{2}-s-12\cdot v_{k}$

$v_{k}\cdot s$ fällt weg - weil auf beiden Seiten. Dann wird gleich durch 12 dividiert.

25) $v_{k}^{2}-v_{k}-{s \over 12}=0$

Die quadratische Gleichung nach $v_{k}$ auflösen.

26) $v_{k1,2}={1 \over 2}\pm {\sqrt {{1 \over 4}+{s \over 12}}}$
27) $v_{k1,2}={1 \over 2}\pm {\sqrt {{3+s} \over 12}}$

s = 189

28) $v_{k1,2}={1 \over 2}\pm {\sqrt {{3+189} \over 12}}$
29) $v_{k1,2}={1 \over 2}\pm {\sqrt {192 \over 12}}$
30) $v_{k1,2}={1 \over 2}\pm {\sqrt {16}}$
31) $v_{k1,2}={1 \over 2}\pm 4$
32) $v_{k1}=+4.5$
33) $v_{k2}=-3.5$

Wir sind nur an positiven Geschwindigkeiten $v_{k}$ interessiert.

34) $v_{k}=4.5$
35) $v_{z}=v_{k}-1=3.5$

Die Strecken sind proportional der Geschwindigkeiten - darum müssen sich die s so verhalten wie die v. Man kann das auch über t darstellen.

36) $t={s \over {v_{k}+v_{z}}}$

37) $s_{z}=v_{z}\cdot t$

38) $s_{z}=v_{z}\cdot {s \over {v_{k}+v_{z}}}$

39) $s_{z}=3.5\cdot {189 \over {4.5+3.5}}$

41) $s_{z}=82.6875$

Wenn sich Zug und Kutsche treffen, dann ist Glasgow 82.6875 Meilen entfernt - das ist die Strecke, die der Zug seit Glasgow zurückgelegt hat.

Gleich eine Probe.

42) $s_{k}=v_{k}\cdot {s \over {v_{k}+v_{z}}}$

43) $s_{k}=4.5\cdot {189 \over {4.5+3.5}}$

44) $s_{k}=106.3125$
45) $s=s_{z}+s_{k}=82.6875+106.3125=189$

Passt.

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 [[NMMRUS_56|zurück zur Aufgabenstellung]]
-[[Image:NMMRUS_56.png|I=Inverness G=Glasgow K=Kutsche Z=Zug]]
+Die Indizes k und z stehen für Kutsche bzw. Zug. v ist eine Geschwindigkeit - s ohne Index ist der Weg von Inverness bis Glasgow in Meilen. <math>s_k</math> , <math>s_z</math> sind die Wege, die Kutsche bzw. Zug zurückgelegt haben, wenn sie sich treffen. Wenn sie sich treffen, dann sind seit der Abfahrt t Stunden vergangen. Gefragt ist nach <math>s_z</math> das ist die Entfernung vom Zug nach Glasgow (der Zug fuhr in Glasgow weg).
-Die Indizes K und Z stehen für Kutsche bzw. Zug. v ist eine Geschwindigkeit - s ohne Index ist der Weg von Inverness bis Glasgow in Meilen. <math>s_k</math> , <math>s_z</math> sind die Wege, die Kutsche bzw. Zug zurückgelegt haben, wenn sie sich treffen. Wenn sie sich treffen, dann sind seit der Abfahrt t Stunden vergangen. Gefragt ist nach <math>s_z</math> das ist die Entfernung vom Zug nach Glasgow (der Zug fuhr in Glasgow weg).
 ) <math>v_k \cdot t = s_k</math><br/>
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 Ausmultiplizieren
-) <math>v_k s_k - v_k s_z = s_k</math><br/>
+) <math>v_k \cdot s_k - v_k \cdot s_z = s_k</math><br/>
-) <math>v_z s_k - v_z s_z = s_z</math>
+) <math>v_z \cdot s_k - v_z \cdot s_z = s_z</math>
 Die s zusammenfassen und die "Minusse" auf die andere Seite
-) <math>(v_k - 1) s_k = v_k s_z</math><br/>
+) <math>(v_k - 1) \cdot s_k = v_k \cdot s_z</math><br/>
-) <math>v_z s_k = (v_z + 1) s_z</math>
+) <math>v_z \cdot s_k = (v_z + 1) \cdot s_z</math>
+Jetzt schaufeln wir alles so herum, dass auf einer Seite <math>s_k \over s_z</math> stehen bleibt.
+) <math>{s_k \over s_z} = {v_k \over {v_k - 1}}</math><br/><br/>
+) <math>{s_k \over s_z} = {{v_z + 1} \over v_z}</math>
+Wenn die linken Seiten gleich sind, sind es auch die rechten.
+) <math>{v_k \over {v_k - 1}} = {{v_z + 1} \over v_z}</math>
+Auflösen der Summen in den Brüchen über einen Zwischenschritt - falls man es nicht gleich sieht.
+) <math>{{(v_k - 1) + 1} \over {(v_k - 1)}} = {{v_z + 1} \over v_z}</math>
+Jetzt ist's leicht:
+) <math>1 + {1 \over {v_k - 1}} = 1 + {1 \over v_z}</math>
+Auf beiden Seiten 1 subtrahieren.
+) <math>{1 \over {v_k - 1}} = {1 \over v_z}</math>
+Reziprokwert auf beiden Seiten (die Nenner sind sicher nicht Null).
+) <math>v_k - 1 = v_z</math>
+Aus der Forderung <i>"Als wir uns unterwegs trafen, waren wir von Invernesse um soviel Meilen weiter entfernt als von Glasgow, wie die genaue Anzahl Stunden, die wir schon unterwegs waren."</i> folgt offenbar dass die Kutsche um 1 Meile/h schneller fährt als der Zug.
+Es gibt aber noch eine Forderung: <i>"Die Kutsche braucht 12 Stunden weniger als der Zug."</i>. Die Entfernung zwischen Inverness und Glasgow sei s.
+) <math>s = 189 = s_k + s_z</math><br/>
+) <math>{s \over v_k} + 12 = {s \over v_z}</math>
+Weil wir später auf beiden Seiten den Reziprokwert errechnen wollen - erzeugen wir jetzt auf der linken Seite eine sauberen Bruch, indem wir 12 mit <math>v_k</math> multiplizieren und dividieren.
+) <math>{{s + 12 \cdot v_k} \over v_k} = {s \over v_z}</math>
+Jetzt Reziprokwert.
+) <math>{v_k \over {s + 12 \cdot v_k}} = {v_z \over s}</math>
+Mit s multiplizieren.
+) <math>{{v_k \cdot s} \over {s + 12 \cdot v_k}} = v_z</math>
+In Gleichung 16) haben wir schon <math>v_z</math> berechnet, die setzen wir jetzt ein.
+) <math>{{v_k \cdot s} \over {s + 12 \cdot v_k}} = v_k - 1</math>
+Mit <math>s + 12 \cdot v_k</math> multiplizieren.
+) <math>v_k \cdot s = (v_k - 1) \cdot (s + 12 \cdot v_k)</math><br/>
+) <math>v_k \cdot s = v_k \cdot s + 12 \cdot v_k^2 - s - 12 \cdot v_k</math>
+<math>v_k \cdot s</math> fällt weg - weil auf beiden Seiten. Dann wird gleich durch 12 dividiert.
+) <math>v_k^2 - v_k - {s \over 12} = 0</math>
+Die quadratische Gleichung nach <math>v_k</math> auflösen.
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+) <math>v_{k 1,2} = {1 \over 2} \pm \sqrt{{3 + s} \over 12}</math>
+s = 189
+) <math>v_{k 1,2} = {1 \over 2} \pm \sqrt{{3 + 189} \over 12}</math><br/>
+) <math>v_{k 1,2} = {1 \over 2} \pm \sqrt{192 \over 12}</math><br/>
+) <math>v_{k 1,2} = {1 \over 2} \pm \sqrt{16}</math><br/>
+) <math>v_{k 1,2} = {1 \over 2} \pm 4</math><br/>
+) <math>v_{k 1} = +4.5</math><br/>
+) <math>v_{k 2} = -3.5</math>
+Wir sind nur an positiven Geschwindigkeiten <math>v_k</math> interessiert.
+) <math>v_k = 4.5</math><br/>
+) <math>v_z = v_k - 1 = 3.5</math>
+Die Strecken sind proportional der Geschwindigkeiten - darum müssen sich die s so verhalten wie die v. Man kann das auch über t darstellen.
+) <math>t = {s \over {v_k + v_z}}</math><br/><br/>
+) <math>s_z = v_z \cdot t</math><br/><br/>
+) <math>s_z = v_z \cdot {s \over {v_k + v_z}}</math><br/><br/>
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+Wenn sich Zug und Kutsche treffen, dann ist Glasgow 82.6875 Meilen entfernt - das ist die Strecke, die der Zug seit Glasgow zurückgelegt hat.
+Gleich eine Probe.
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+) <math>s_k = 4.5 \cdot {189 \over {4.5 + 3.5}}</math><br><br/>
+) <math>s_k = 106.3125</math><br/>
+) <math>s = s_z + s_k = 82.6875 + 106.3125 = 189</math>
+Passt.

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