NMMRUS 63 Loesung

Wie weit ist es bis Piketown?

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Sei s die gesamte Strecke vom Hotel bis Piketown, a die Strecke vom Hotel bis zur Station und b die Strecke von der Station bis Piketown. Alle Strecken werden in Meilen gemessen. Sei $v_{f}$ und $v_{k}$ die Geschwindikeit des Fußgängers bzw. der Kutsche gemessen in Meilen pro Minute (da die Zeitangaben auch in Minuten sind).

Von der 3.Möglichkeit wissen wir, dass der Fußgänger 4 Meilen zurückgelegt hat, wenn die Kutsche in der Station eintrifft.

[1] ${a \over v_{k}}={4 \over v_{f}}$

Daraus lassen sich unmittelbar zwei Beziehungen ableiten (wir werden sie später noch brauchen).

[2] ${v_{f} \over v_{k}}={4 \over a}$
[3] $v_{k}=v_{f}{a \over 4}$

Weiters wissen von der 4. Möglichkeit, dass der Fußgänger genau dann in der Station eintrifft, wenn die Pause von 30 Minuten vorbei ist.

[4] ${{a-4} \over v_{f}}=30$
[5] $v_{f}={{a-4} \over 30}$

Aus [3] und [5] ergibt sich.

[6] $v_{k}={{(a-4)} \over 30}\cdot {a \over 4}$

Von Möglichkeit 2 wissen wir, dass die Kutsche den Fußgänger um 1 Meile schlägt. Die Kutsche gibt dem Fußgänger 30 Minuten mehr Zeit, da sie selber solange in der Station verweilt.

[7] $t_{2}={s \over v_{k}}+30$

[8] $v_{f}\cdot t_{2}=s-1$

[9] $s-1={v_{f} \over v_{k}}\cdot s+30\cdot v_{f}$

Zusammenfassen durch Herausheben von s.

[10] $s\cdot (1-{v_{f} \over v_{k}})=30\cdot v_{f}+1$

[11] $s={{30\cdot v_{f}+1} \over {1-{v_{f} \over v_{k}}}}$

Jetzt setzen wir das was wir über die Geschwindikeiten bzw. deren Verhältnis wissen aus [5] und [2] ein.

[12] $s={{30\cdot {{a-4} \over 30}+1} \over {1-{4 \over a}}}$

[13] $s={{(a-4)+1} \over {{a-4} \over a}}$

[14] $s=a\cdot {{a-3} \over {a-4}}$

Von der Möglichkeit 4 wissen wir, dass in diesem Fall der Fußgänger die Kutsche um 15 Minuten schlägt. $t_{4}$ ist die Zeit die der Fußgänger für die zweite Teilstrecke b braucht. Die Kutsche hat einerseits 30 Minuten weniger zur Verfügung (wegen der Pause) und braucht dann immer noch 15 Minuten länger.

[15] $t_{4}={b \over v_{f}}$
[16] ${b \over v_{k}}=t_{4}-30+15$

[17] ${b \over v_{k}}={b \over v_{f}}-15$

[18] $b\cdot ({1 \over v_{f}}-{1 \over v_{k}})=15$

[19] $b\cdot {{v_{k}-v_{f}} \over {v_{f}\cdot v_{k}}}=15$

[20] $b=15\cdot {{v_{k}-v_{f}} \over {v_{f}\cdot v_{k}}}$

Einsetzen aus [5] und [6]

[21] $b=15\cdot {{({{a-4} \over 30})^{2}\cdot {a \over 4}} \over {({{a-4} \over 30})\cdot {a \over 4}-{{a-4} \over 30}}}$

Da kann man durch ${a-4} \over 30$ kürzen.

[22] $b=15\cdot {{({{a-4} \over 30})\cdot {a \over 4}} \over {{a \over 4}-1}}$

[23] $b={{{15\cdot (a-4)\cdot a} \over {30\cdot 4}} \over {{a-4} \over 4}}$

Doppelbrüche auflösen.

[24] $b={{15\cdot (a-4)\cdot a\cdot 4} \over {30\cdot 4\cdot (a-4)}}$

Was geht kürzen.

[25] $b={{15\cdot a} \over {30}}$

[26] $b={a \over 2}$

Bis jetzt wurde es noch nicht erwähnt aber a + b = s . Da setzen wir jetzt [14] und [26] ein.

[27] $a+{a \over 2}=a\cdot {{a-3} \over {a-4}}$

Mal 2, mal (a - 4)

[28] $2\cdot a\cdot (a-4)+a\cdot (a-4)=2\cdot a\cdot (a-3)$

Duch a kürzen.

[29] $2\cdot (a-4)+(a-4)=2\cdot (a-3)$
[30] $2a-8+a-4=2a-6$
[31] $a=8+4-6=6$

Jetzt is' leicht.

[32] $a=6$
[33] $b={a \over 2}=3$
[34] $s=a+b=6+3=9$

Piketown ist 9 Meilen vom Hotel entfernt.