NMMRUS 63 Loesung

Wie weit ist es bis Piketown?

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Sei s die gesamte Strecke vom Hotel bis Piketown, a die Strecke vom Hotel bis zur Station und b die Strecke von der Station bis Piketown. Alle Strecken werden in Meilen gemessen. Sei $v_{f}$ und $v_{k}$ die Geschwindikeit des Fußgängers bzw. der Kutsche gemessen in Meilen pro Minute (da die Zeitangaben auch in Minuten sind).

Von der 3.Möglichkeit wissen wir, dass der Fußgänger 4 Meilen zurückgelegt hat, wenn die Kutsche in der Station eintrifft.

1) ${a \over v_{k}}={4 \over v_{f}}$

Daraus lassen sich unmittelbar zwei Beziehungen ableiten (wir werden sie später noch brauchen).

2) ${v_{f} \over v_{k}}={4 \over a}$
3) $v_{k}=v_{f}{a \over 4}$

Weiters wissen von der 4. Möglichkeit, dass der Fußgänger genau dann in der Station eintrifft, wenn die Pause von 30 Minuten vorbei ist.

4) ${{a-4} \over v_{f}}=30$
5) $v_{f}={{a-4} \over 30}$

Aus 3) und 5) ergibt sich.

6) $v_{k}={{(a-4)} \over 30}\cdot {a \over 4}$

Von Möglichkeit 2 wissen wir, dass die Kutsche den Fußgänger um 1 Meile schlägt. Die Kutsche gibt dem Fußgänger 30 Minuten mehr Zeit, da sie selber solange in der Station verweilt.

7) $t_{2}={s \over v_{k}}+30$
8) $v_{f}\cdot t_{2}=s-1$
9) $s-1={v_{f} \over v_{k}}\cdot s+30\cdot v_{f}$

Zusammenfassen durch Herausheben von s.

10) $s\cdot (1-{v_{f} \over v_{k}})=30\cdot v_{f}+1$
11) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = {{30 \cdot v_f + 1} \over {1 - {v_f \over v_k}}}}

Jetzt setzen wir das was wir über die Geschwindikeiten bzw. deren Verhältnis wissen aus 5) und 2) ein.

12) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = {{30 \cdot {{a - 4} \over 30} + 1} \over {1 - {4 \over a}}}}

13) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = {{(a - 4) + 1} \over {{a - 4} \over a}}}

14) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = a \cdot {{a - 3} \over {a - 4}}}

Von der Möglichkeit 4 wissen wir, dass in diesem Fall der Fußgänger die Kutsche um 15 Minuten schlägt. Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_4} ist die Zeit die der Fußgänger für die zweite Teilstrecke b braucht. Die Kutsche hat einerseits 30 Minuten weniger zur Verfügung (wegen der Pause) und braucht dann immer noch 15 Minuten länger.

15) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_4 = {b \over v_f}}
16) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {b \over v_k} = t_4 - 30 + 15}
17) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {b \over v_k} = {b \over v_f} - 15}
18) $b\cdot ({1 \over v_{f}}-{1 \over v_{k}})=15$
19) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b \cdot {{v_k - v_f} \over {v_f \cdot v_k}} = 15}
20) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b = 15 \cdot {{v_k - v_f} \over {v_f \cdot v_k}}}

Einsetzen aus 5) und 6)

21) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b = 15 \cdot { { ( { {a - 4} \over 30 } )^2 \cdot {a \over 4} } \over { ( { {a - 4} \over 30 } ) \cdot {a \over 4} - { {a - 4} \over 30 } } } }

Da kann man durch Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {a - 4} \over 30} kürzen.

22) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 15 \cdot { { ( { {a - 4} \over 30 } ) \cdot {a \over 4} } \over { { a \over 4 } - 1 } } }