NMMRUS 63 Loesung

Wie weit ist es bis Piketown?

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Sei s die gesamte Strecke vom Hotel bis Piketown, a die Strecke vom Hotel bis zur Station und b die Strecke von der Station bis Piketown. Alle Strecken werden in Meilen gemessen. Sei $v_{f}$ und $v_{k}$ die Geschwindikeit des Fußgängers bzw. der Kutsche gemessen in Meilen pro Minute (da die Zeitangaben auch in Minuten sind).

Von der 3.Möglichkeit wissen wir, dass der Fußgänger 4 Meilen zurückgelegt hat, wenn die Kutsche in der Station eintrifft.

1) ${a \over v_{k}}={4 \over v_{f}}$

Daraus lassen sich unmittelbar zwei Beziehungen ableiten (wir werden sie später noch brauchen).

2) ${v_{f} \over v_{k}}={4 \over a}$
3) $v_{k}=v_{f}{a \over 4}$

Weiters wissen von der 4. Möglichkeit, dass der Fußgänger genau dann in der Station eintrifft, wenn die Pause von 30 Minuten vorbei ist.

4) ${{a-4} \over v_{f}}=30$
5) $v_{f}={{a-4} \over 30}$

Aus 3) und 5) ergibt sich.

6) $v_{k}={{(a-4)} \over 30}\cdot {a \over 4}$

Von Möglichkeit 2 wissen wir, dass die Kutsche den Fußgänger um 1 Meile schlägt. Die Kutsche gibt dem Fußgänger 30 Minuten mehr Zeit, da sie selber solange in der Station verweilt.

7) $t_{2}={s \over v_{k}}+30$
8) $v_{f}\cdot t_{2}=s-1$
9) $s-1={v_{f} \over v_{k}}\cdot s+30\cdot v_{f}$

Zusammenfassen durch Herausheben von s.

10) $s\cdot (1-{v_{f} \over v_{k}})=30\cdot v_{f}+1$
11) $s={{30\cdot v_{f}+1} \over {1-{v_{f} \over v_{k}}}}$

Jetzt setzen wir das was wir über die Geschwindikeiten bzw. deren Verhältnis wissen aus 5) und 2) ein.

12) $s={{30\cdot {{a-4} \over 30}+1} \over {1-{4 \over a}}}$

13) $s={{(a-4)+1} \over {{a-4} \over a}}$

14) $s=a\cdot {{a-3} \over {a-4}}$

Von der Möglichkeit 4 wissen wir, dass in diesem Fall der Fußgänger die Kutsche um 15 Minuten schlägt. $t_{4}$ ist die Zeit die der Fußgänger für die zweite Teilstrecke b braucht. Die Kutsche hat einerseits 30 Minuten weniger zur Verfügung (wegen der Pause) und braucht dann immer noch 15 Minuten länger.

15) $t_{4}={b \over v_{f}}$
16) ${b \over v_{k}}=t_{4}-30+15$
17) ${b \over v_{k}}={b \over v_{f}}-15$
18) $b\cdot ({1 \over v_{f}}-{1 \over v_{k}})=15$
19) $b\cdot {{v_{k}-v_{f}} \over {v_{f}\cdot v_{k}}}=15$
20) $b=15\cdot {{v_{k}-v_{f}} \over {v_{f}\cdot v_{k}}}$

Einsetzen aus 5) und 6)

21) $b=15\cdot {{({{a-4} \over 30})^{2}\cdot {a \over 4}} \over {({{a-4} \over 30})\cdot {a \over 4}-{{a-4} \over 30}}}$

Da kann man durch ${a-4} \over 30$ kürzen.

22) $15\cdot {{({{a-4} \over 30})\cdot {a \over 4}} \over {{a \over 4}-1}}$