NMMRUS 10 Loesung

Wie alt ist Mary?

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Marys Alter heute sei $M$, das von Ann $A$. Die damaligen/zukünftigen Alter von Mary und Ann seien $M-t_{i}$ , $A-t_{i}$ (die verschieden "Zeiten" werden mit $t_{1}$ , $t_{2}$ und $t_{3}$ dargestellt). Die Angabe sieht dann so aus:

1) $M+A=44$
2) $M=2(A+t_{1})$
3) $M+t_{1}={{A+t_{2}} \over 2}$
4) $3(M+t_{3})=A+t_{2}$
5) $M+t_{3}=3(A+t_{3})$

Wir wissen aus 1), dass $A=44-M$ ist. Weil sich dieses "44" bis am Schluss durch alle Berechnungen schleift, es immer mit den wildesten Faktoren multipliziert und dividiert wird, ich dann geneigt bin ein Zwischenergebnis auszurechnen, das in den meisten Fällen einfach falsch ist, werde ich, bis kurz vor dem Schluss, statt "44" einfach $S$ (Summe) schreiben: $A=S-M$ - die rechte Seite setzen wir in Zukunft immer für $A$ ein (wir sind lt. Fragestellung am Alter von Mary interessiert). Aus 2) drücken wir jetzt $t_{1}$ mit $M$ aus.

6) $M=2(S-M+t_{1})$
7) $M=2S-2M+2t_{1}$
8) $3M=2(S+t_{1})$
9) ${3 \over 2}M=S+t_{1}$
10) $t_{1}={3 \over 2}M-S$

Jetzt, wo wir $t_{1}$ erfolgreich durch $M$ und $S$ ausgedrückt haben, können wir das in 3) (vorher wird sie aber mit 2 multipliziert) einsetzen:

11) $2(M+{3 \over 2}M-S)=S-M+t_{2}$
12) $2M+3M-2S-S+M=t_{2}$
13) $t_{2}=6M-3S$

Glücklich über $t_{2}$ setzen wir das in 4) ein:

14) $3(M+t_{3})=S-M+6M-3S$
15) $3t_{3}=S-M+6M-3S-3M$
16) $3t_{3}=2M-2S$
17) $t_{3}={2 \over 3}(M-S)$

Schlussendlich haben wir alle $t_{i}$ eliminiert und können in die letzte Gleichung 5) einsetzen:

18) $M+{2 \over 3}(M-S)=3(S-M+{2 \over 3}(M-S))$
19) $3M+2M-2S=9S-9M+6M-6S$
20) $8M=5S$
21) $M={5 \over 8}S={5 \over 8}44={55 \over 2}=27.5$

Mary ist also siebenundzwanzig-einhalb Jahre alt.

Es folgt zur Übersicht (und als Möglichkeit die Zwischenergebnisse mit der Angabe zu vergleichen) eine Tabelle mit allen Altern, die man erhält, wenn man jetzt in die Gleichungen von unten nach oben einsetzt:

i	$t_{i}$	$M+t_{i}$	$A+t_{i}$
0	0.00	27.50	16.50
1	-2.75	24.75	13.75
2	33.00	60.50	49.50
3	-11.00	16.50	5.50