NMMRUS 14 Loesung

Wie breit ist der Fluß?

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Das langsamere Boot ist rot dargestellt und fährt mit der Geschwindigkeit $v_{A}$ - das schnellere Boot (blau) fährt mit $v_{B}$ . Nach der Zeit $t_{1}$ treffen sich die Beiden Boote zum ersten Mal bei Punkt X. $b$ ist die Breite des Flusses.

1) ${v_{A}}\cdot {t_{1}}=720$
2) ${v_{B}}\cdot {t_{1}}=b-720$

Nach $t_{2}$ treffen sich die Boote zum zeiten Mal in Punkt Z.

3) ${v_{A}}\cdot {t_{2}}=b+400$
4) ${v_{B}}\cdot {t_{2}}=2b-400$

Das ist die Umsetzung der Angabe in mathematische Formeln (dass die Boote 10 Minuten warten ist irrelevant, da sie beide die 10 Minuten warten - es ist egal, dass sie nicht gleichzeitig 10 Minuten warten).

1) wird durch $v_{A}$ dividiert - 2) wird durch $v_{B}$ dividiert, dann steht links in beiden Fällen $t_{1}$.

5) ${t_{1}}={\frac {720}{v_{A}}}$
6) ${t_{1}}={\frac {b-720}{v_{B}}}$

Wenn die linken Seiten gleich sind, dann können wir die rechten gleich setzen (und entledigen uns somit dem $t_{1}$.

7) ${\frac {720}{v_{A}}}={\frac {b-720}{v_{B}}}$

Jetzt multiplizieren wir mit $v_{A}$ und dividieren gleichzeitig durch $(b-720)$.

8) ${\frac {720}{b-720}}={\frac {v_{A}}{v_{B}}}$

Die rechte Seite wird wegfallen, wenn wir mit 3) und 4) das gleiche machen, wie mit 1) und 2) - also 3) wird durch $v_{A}$ - und 4) durch $v_{B}$ dividiert.

9) $t_{2}={\frac {b+400}{v_{A}}}$
10) $t_{2}={\frac {2b-400}{v_{B}}}$

Weil wieder die linken Seiten gleich sind, können wir die rechten gleich setzen und entledigen uns dem $t_{2}$.

11) ${\frac {b+400}{v_{A}}}={\frac {2b-400}{v_{B}}}$

Ähnlich wie z'erst multiplizieren wir mit Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_A} und dividieren durch Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2b - 400)} .

12) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{b + 400}{2b - 400} = \frac{v_A}{v_B}}

Die rechten Seiten von 8) und 12) sind gleich, darum können wir ihre linken Seiten gleich setzen - somit sind wir nun alle störenden Variablen los.

13) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{720}{b - 720} = \frac{b + 400}{2b - 400}}

Also: mal Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (b - 720)} , mal $(2b-400)$.

14) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 720\cdot(2b - 400) = (b + 400)\cdot(b - 720)}

Einfach ausmultiplizieren...

15) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \cdot 720 \cdot b - 400 \cdot 720 = b^2 + b \cdot (400 - 720) - 400 \cdot 720}

Auf beiden Seiten steht Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -400 \cdot 720} - das fällt weg, wenn wir auf beiden Seiten Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 400 \cdot 720} addieren.

16) $2\cdot 720\cdot b=b^{2}+b\cdot (400-720)$

Nachdem jeder Summand den Faktor Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} enthällt und wir doch annehmen dürfen, dass der Fluss breiter als 0 Yards ist, dividieren wir jetzt durch Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} .

17) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \cdot 720 = b + 400 - 720}

Also -400 + 720, da links schon zwei mal 720 steht, werden es jetzt drei.

18) Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3 \cdot 720 - 400 = b}

Jetzt nehmen wir einen Taschenrechner ;-)

$b=1760$

Der Fluss ist somit 1760 Yards breit.