NMMRUS 14 Loesung

Wie breit ist der Fluß?

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Das langsamere Boot ist rot dargestellt und fährt mit der Geschwindigkeit $v_{A}$ - das schnellere Boot (blau) fährt mit $v_{B}$ . Nach der Zeit $t_{1}$ treffen sich die Beiden Boote zum ersten Mal bei Punkt X. $b$ ist die Breite des Flusses.

1) ${v_{A}}\cdot {t_{1}}=720$
2) ${v_{B}}\cdot {t_{1}}=b-720$

Nach $t_{2}$ treffen sich die Boote zum zeiten Mal in Punkt Z.

3) ${v_{A}}\cdot {t_{2}}=b+400$
4) ${v_{B}}\cdot {t_{2}}=2b-400$

Das ist die Umsetzung der Angabe in mathematische Formeln (dass die Boote 10 Minuten warten ist irrelevant, da sie beide die 10 Minuten warten - es ist egal, dass sie nicht gleichzeitig 10 Minuten warten).

1) wird durch $v_{A}$ dividiert - 2) wird durch $v_{B}$ dividiert, dann steht links in beiden Fällen $t_{1}$.

5) ${t_{1}}={\frac {720}{v_{A}}}$
6) ${t_{1}}={\frac {b-720}{v_{B}}}$

Wenn die linken Seiten gleich sind, dann können wir die rechten gleich setzen (und entledigen uns somit dem $t_{1}$.

7) ${\frac {720}{v_{A}}}={\frac {b-720}{v_{B}}}$

Jetzt multiplizieren wir mit $v_{A}$ und dividieren gleichzeitig durch $(b-720)$.

8) ${\frac {720}{b-720}}={\frac {v_{A}}{v_{B}}}$

Die rechte Seite wird wegfallen, wenn wir mit 3) und 4) das gleiche machen, wie mit 1) und 2) - also 3) wird durch $v_{A}$ - und 4) durch $v_{B}$ dividiert.

9) $t_{2}={\frac {b+400}{v_{A}}}$
10) $t_{2}={\frac {2b-400}{v_{B}}}$

Weil wieder die linken Seiten gleich sind, können wir die rechten gleich setzen und entledigen uns dem $t_{2}$.

11) ${\frac {b+400}{v_{A}}}={\frac {2b-400}{v_{B}}}$

Ähnlich wie z'erst multiplizieren wir mit $v_{A}$ und dividieren durch $(2b-400)$.

12) ${\frac {b+400}{2b-400}}={\frac {v_{A}}{v_{B}}}$

Die rechten Seiten von 8) und 12) sind gleich, darum können wir ihre linken Seiten gleich setzen - somit sind wir nun alle störenden Variablen los.

13) ${\frac {720}{b-720}}={\frac {b+400}{2b-400}}$

Also: mal $(b-720)$, mal $(2b-400)$.

14) $720\cdot (2b-400)=(b+400)\cdot (b-720)$

Einfach ausmultiplizieren...

15) $2\cdot 720\cdot b-400\cdot 720=b^{2}+b\cdot (400-720)-400\cdot 720$

Auf beiden Seiten steht $-400\cdot 720$ - das fällt weg, wenn wir auf beiden Seiten $400\cdot 720$ addieren.

16) $2\cdot 720\cdot b=b^{2}+b\cdot (400-720)$

Nachdem jeder Summand den Faktor $b$ enthällt und wir doch annehmen dürfen, dass der Fluss breiter als 0 Yards ist, dividieren wir jetzt durch $b$.

17) $2\cdot 720=b+400-720$

Also -400 + 720, da links schon zwei mal 720 steht, werden es jetzt drei.

18) $3\cdot 720-400=b$

Jetzt nehmen wir einen Taschenrechner ;-)

$b=1760$

Der Fluss ist somit 1760 Yards breit.