Sophia Mathe 2015-05-28

Aufgabe 9.163

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ergebnis beim Lotto "6 aus 45"?

a) 3 Richtige mit Zusatzzahl

b) 3 Richtige ohne Zusatzzahl

c) 4 Richtige mit Zusatzzahl

d) 4 Richtige ohne Zusatzzahl

e) 5 Richtige mit Zusatzzahl

f) 5 Richtige ohne Zusatzzahl

Hinweis: "3 Richtige mit Zusatzzahl" hätte man, wenn genau drei der dechs Gewinnzahlen richtig sind und wenn außerdem die Zusatzzahl (die nach den sechs Gewinnzahlen als siebente zahl gezogen wird) mit einer der drei übrigen angekreuzten Zahlen übereinstimmt.

Lösung 9.163

Das "Problem" der Zusatzzahl ist, dass man sie nicht einfach als siebente Zahl nehmen kann, da bei den zuerst gezogenen Zahlen die Reihenfolge egal ist - bei der siebenten aber nicht, da die siebente die Zusatzzahl ist.

Nach einer Ziehung (egal wie sie aussehen mag) gibt es 3 Grüppchen:

- L: die 6 gezogenen Lottozahlen

- Z: die als siebente gezogenen Zusatzzahl

- R: den Rest der Zahlen 45 - 6 - 1 = 38

Beim Zählen der Möglichkeiten für jede Teilaufgabe a-f) muss man sich überlegen, wieviele Zahlen auf dem Lottoschein aus welchen Grüppchen kommen. Die Zahlen, die übereinstimmen sollen, kommen aus Grüppchen L - falls eine Zusatzzahl gefordert wird, kommt sie aus Grüppchen Z - die restlichen Zahlen am Lottoschein kommen aus Grüppchen R.

Die im obigen Absatz beschriebene Anzahl an "günstigen" Möglichkeiten muss man durch die Anzahl aller Möglichkeiten dividieren um zu der gefragten Wahrscheinlichkeit zu kommen. Die Anzahl aller Möglichkeiten ist für a-f) immer gleich, das ist die Anzahl aller möglichen Lottoscheine. Auf einem Lottoschein sind 6 aus 45 Zahlen angekreuzt. Die Anzahl der Möglichkeiten ist also

${\binom {45}{6}}=8145060$

Lösung 9.163 a)

3er mit Zusatzzahl. Drei Zahlen am Lottoschein müssen aus Grüppchen L (das besteht aus 6 Zahlen) kommen - eine Zahl muss aus Grüppchen Z (das besteht aus 1 Zahl) kommen - die restlichen zwei Zahlen müssen aus Grüppchen R (das besteht aus 38 Zahlen) kommen. Die Wahrscheinlichkeit ist

${{{\binom {6}{3}}\cdot {\binom {1}{1}}\cdot {\binom {38}{2}}} \over {\binom {45}{6}}}={{20\cdot 1\cdot 703} \over {8145060}}={{14060} \over {8145060}}={0.00172620}$

Lösung 9.163 b)

3er ohne Zusatzzahl. Drei Zahlen am Lottoschein müssen aus Grüppchen L (das besteht aus 6 Zahlen) kommen - keine Zahl darf aus Grüppchen Z (das besteht aus 1 Zahl) kommen - die restlichen drei Zahlen müssen aus Grüppchen R (das besteht aus 38 Zahlen) kommen. Die Wahrscheinlichkeit ist

${{{\binom {6}{3}}\cdot {\binom {1}{0}}\cdot {\binom {38}{3}}} \over {\binom {45}{6}}}={{20\cdot 1\cdot 8436} \over {8145060}}={{168720} \over {8145060}}={0.02071440}$

Lösung 9.163 c)

4er mit Zusatzzahl. Vier Zahlen am Lottoschein müssen aus Grüppchen L kommen - eine Zahl muss aus Grüppchen Z kommen - die restliche Zahl muss aus Grüppchen R kommen. Die Wahrscheinlichkeit ist

${{{\binom {6}{4}}\cdot {\binom {1}{1}}\cdot {\binom {38}{1}}} \over {\binom {45}{6}}}={{15\cdot 1\cdot 38} \over {8145060}}={{570} \over {8145060}}={0.00006998}$

Lösung 9.163 d)

4er ohne Zusatzzahl. Vier Zahlen am Lottoschein müssen aus Grüppchen L kommen - keine Zahl darf aus Grüppchen Z kommen - die restlichen zwei Zahlen müssen aus Grüppchen R kommen. Die Wahrscheinlichkeit ist

${{{\binom {6}{4}}\cdot {\binom {1}{0}}\cdot {\binom {38}{2}}} \over {\binom {45}{6}}}={{15\cdot 1\cdot 703} \over {8145060}}={{10545} \over {8145060}}={0.00129465}$

Lösung 9.163 e)

5er mit Zusatzzahl. Fünf Zahlen am Lottoschein müssen aus Grüppchen L kommen - eine Zahl muss aus Grüppchen Z kommen - keine Zahl darf aus Grüppchen R kommen. Die Wahrscheinlichkeit ist

${{{\binom {6}{5}}\cdot {\binom {1}{1}}\cdot {\binom {38}{0}}} \over {\binom {45}{6}}}={{6\cdot 1\cdot 1} \over {8145060}}={{6} \over {8145060}}={0.00000074}$

Lösung 9.163 f)

5er ohne Zusatzzahl. Fünf Zahlen am Lottoschein müssen aus Grüppchen L kommen - keine Zahl darf aus Grüppchen Z kommen - die restliche Zahl muss aus Grüppchen R kommen. Die Wahrscheinlichkeit ist

${{{\binom {6}{5}}\cdot {\binom {1}{0}}\cdot {\binom {38}{1}}} \over {\binom {45}{6}}}={{6\cdot 1\cdot 38} \over {8145060}}={{228} \over {8145060}}={0.00002799}$

Aufgabe 9.164

Enthält ein Tipp beim Lotto "6 aus 45" keine einzige der sechs Gewinnzahlen, wurde jedoch die Zusatzzahl richtig angekreuzt, so bekommt man den Tippeinsatz rückerstattet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Fall?

Lösung 9.164

Das ist einfach die Weiterführung der Aufgabe 9.163. L, Z und R wie oben - ebenso die Anzahl der günstigen Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist

${{{\binom {6}{0}}\cdot {\binom {1}{1}}\cdot {\binom {38}{5}}} \over {\binom {45}{6}}}={{1\cdot 1\cdot 501942} \over {8145060}}={0.06162533}$