MR 06 Loesung R

Ich nenne die Anzahl der Stellen s, die Zahl n hat also eine Dezimaldarstellung aus s Ziffern mit dem Wert z.

1. Für $z>1$ ist n durch z teilbar und daher keine Primzahl, ab jetzt gilt daher $z=1$. Wir betrachten daher Zahlen der Form $n=(10^{s}-1)/9$, sie werden als repunits (repeated units) zur Basis 10 bezeichnet. Für die Basis 2 gibt es ja Primzahlen der Form $2^{s}-1$, sie sind nach Marin Mersenne benannt.

2. Die Ziffernsumme hat den Wert s, wenn sie durch 3 teilbar ist, gilt das auch für n, es muss also $s\equiv \pm 1{\pmod {3}}$ gelten.

3. Die Zifferndifferenz hat den Wert 0 wenn s gerade und 1, wenn s ungerade ist. Weil Zahlen mit der Zifferndifferenz Null durch 11 teilbar sind, kommen nur ungerade Zahlen für s in Frage (der Fall s=2 wird ja schon ausgeschlossen).

Zusammen mit 2 ergibt sich daher, dass s ≡ ±1 (mod 6) sein muss, um Vielfache von 3 und 11 auszuschließen.

Eine kurze Suche liefert die Primzahlkandidaten s=19 und s=23, die entsprechenden Zahlen bestehen probabilistische Primzahltests, ich bin ziemlich sicher, dass es sich bei den repunits $(10^{19}-1)/9$ und $(10^{23}-1)/9$ um Primzahlen handelt.

In einem meiner Lieblingsbücher, Number Theory in Science and Communication: With Applications in Cryptography, Physics, Digital Information, Computing, and Self-Similarity (Englisch) von Manfred Schroeder werden solche repunits besprochen, damals (ca. 1989) war noch nicht bekannt, ob die Zahl $(10^{1031}-1)/9$ prim ist, ich habe vor etlichen Jahren viel Rechenzeit verwendet, um das zu überprüfen und habe ein positives Ergebnis bekommen.