Quadraträtsel

Dieses Rätsel wurde durch eine Aufgabe in Programming Praxis inspiriert.

n=4

Finde alle vierstelligen Dezimalzahlen, die mit den vier letzten Stellen ihres Quadrats übereinstimmen.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \equiv x^2 \pmod {10^4}}

Das kann man wie bei Programming Praxis als einfache Programmieraufgabe auffassen, es ist aber auch möglich, die Lösungen mit Papier und Bleistift zu finden.

Verallgemeinerung

Fossy hatte die Idee, das Rätsel zu erweitern. Kann man zu einer Lösung Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_n} von

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \equiv x^2 \pmod {10^n}\quad(1)}

weitere Lösungen Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{n+1}=d_n\cdot 10^n + x_n} für Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1)} mit dem Modulus Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 10^{n+1}} finden? Dazu muss man die Dezimalziffer Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_n} bestimmen. Gibt es dafür immer genau eine Möglichkeit oder kann es vorkommen, dass es mehrere oder gar keine Lösung gibt?

Die Folge Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (d_n)}

Die im vorhergehnden Abschnitt eingeführten Dezimalziffern Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_n} bilden eine Folge. Welche Eigenschaften hat diese? Ist sie endlich (weil es keine passende Fortsetzung gibt), eindeutig (oder verzweigt sie)? Ist sie periodisch?