Quadraträtsel

Dieses Rätsel wurde durch eine Aufgabe in Programming Praxis inspiriert.

n=4

Finde alle vierstelligen Dezimalzahlen, die mit den vier letzten Stellen ihres Quadrats übereinstimmen.

$x\equiv x^{2}{\pmod {10^{4}}}$

Das kann man wie bei Programming Praxis als einfache Programmieraufgabe auffassen, es ist aber auch möglich, die Lösungen mit Papier und Bleistift zu finden.

Verallgemeinerung

User:Fossy Fossy hatte die Idee, das Rätsel zu erweitern. Kann man zu einer Lösung $x_{n}$ von

$x\equiv x^{2}{\pmod {10^{n}}}\quad (1)$

weitere Lösungen $x_{n+1}=d_{n}\cdot 10^{n}+x_{n}$ für $(1)$ mit dem Modulus $10^{n+1}$ finden? Dazu muss man die Dezimalziffer $d_{n}$ bestimmen. Gibt es dafür immer genau eine Möglichkeit oder kann es vorkommen, dass es mehrere oder gar keine Lösung gibt?

Die Folge $(d_{n})$

Die im vorhergehnden Abschnitt eingeführten Dezimalziffern $d_{n}$ bilden eine Folge. Welche Eigenschaften hat diese? Ist sie endlich (weil es keine passende Fortsetzung gibt), eindeutig (oder verzweigt sie)? Ist sie periodisch?