NMMRUS 146 Loesung

Welche Strecke bewältigt der Kurier?

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Ich rechne die Aufgabe lieber "allgemein" als mit Zahlen - Zahlen kann man am Schluss immer noch einsetzen. So muss man weniger schreiben (außer diesen Absatz) und sieht die Zusammenhänge besser.

Die "Länge" der Armee bzw. die Seitenlänge des Quadrats ist $a$. Wir wissen schon, dass $a=50Mi$. Die Geschwindigkeit des Kuriers ist $v_{K}$. Die Gewschwindigkeit der Armee ist $v_{A}$. Die Stecke, die der Kurier in den einzelnen Abschnitten zurücklegt nenne ich $x_{i}$ die Zeit, die er für diesen Abschnitt braucht ist $t_{i}$.

einfache (eindimensionale) Variante

Der Kurier reitet im ersten Abschnitt die Strecke $x_{1}$ - während die Armee in der gleiche Zeit die Strcke $(x_{1}-a)$ zurücklegt.

$x_{1}=v_{K}\cdot t_{1}$
$x_{1}-a=v_{A}\cdot t_{1}$

Durch "Umformen" entledigen wir uns dem $t_{1}$ und finden das $x_{1}$.

$t_{1}={x_{1} \over v_{K}}$
$x_{1}-a=v_{A}\cdot {x_{1} \over v_{K}}$
$x_{1}\cdot (1-{v_{A} \over v_{K}})=a$
$x_{1}={a \over {1-{v_{A} \over v_{K}}}}$

Im Zweiten Abschnitt reitet der Kurier die Strecke $x_{2}$ - während die Armee die Stecke $(a-x_{2})$ zurücklegt.

$x_{2}=v_{K}\cdot t_{2}$
$a-x_{2}=v_{A}\cdot t_{2}$

Wieder arbeiten wir das $t_{2}$ heraus um das $x_{2}$ auszudrücken.

$t_{2}={x_{2} \over v_{K}}$
$a-x_{2}=v_{A}\cdot {x_{2} \over v_{K}}$
$x_{2}\cdot (1+{v_{A} \over v_{K}})=a$
$x_{2}={a \over {1+{v_{A} \over v_{K}}}}$

Die Antwort aud die Frage ist $x=x_{1}+x_{2}$.

$x={a \over {1-{v_{A} \over v_{K}}}}+{a \over {1+{v_{A} \over v_{K}}}}$

$x={{a\cdot (1+{v_{A} \over v_{K}})+a\cdot (1-{v_{A} \over v_{K}})} \over {(1-{v_{A} \over v_{K}})(1+{v_{A} \over v_{K}})}}$

$x={{2a} \over {1-({v_{A} \over v_{K}})^{2}}}$

Was uns noch zur endgültigen Beantwortung fehlt ist $v_{A}$ und $v_{K}$. Dazu hilt uns ein Umstand, den wir noch nicht verwendet haben: Die Armee legt während dem Hin- und Herreiten genau die Strecke $a$ zurück. Die exakten Geschwindigkeiten $v_{A}$ und $v_{K}$ sind uninteressant bzw. aus der Aufgabenstellung nicht zu ermitteln. Das einzige worauf es ankommt ist der Quotient aus den Geschwindigkeiten - um wieviel die Armee langsamer vorankommt als der Kurier.

$q={v_{A} \over v_{K}}$

$x={{2a} \over {1-q^{2}}}$

Dieser Quotient ist auch genau der Faktor um den die zurückgelegte Strecke der Armee kleiner ist als die des Kuriers. Die Strecke der Armee ist die Strecke des Kuriers mal q. Weiters ist die Strecke der Armee gleich ihre Länge:

$a=x\cdot q$

$a={{2aq} \over {1-q^{2}}}$

Da sieht man jetzt auch schön, dass die Länge der Armee für die Berechnung des Quotienten irrelevant ist, denn man kann durch a kürzen:

$1={{2q} \over {1-q^{2}}}$

$1-q^{2}=2q$
$q^{2}+2q-1=0$
$q_{1,2}=-1\pm {\sqrt {1+1}}$

Der Quotient ist ganz sicher positiv, darum gibt es nur eine Lösung:

$q={\sqrt {2}}-1$

Somit ist die Antwort auf die Frage "Welchen Weg legt der Kurier zurück" :

$x={{2a} \over {1-({\sqrt {2}}-1)^{2}}}$
$x={{2a} \over {1-(2-2{\sqrt {2}}+1)}}$
$x={{2a} \over {-2+2{\sqrt {2}}}}$
$x={{a} \over {{\sqrt {2}}-1}}$
$x={{a\cdot ({\sqrt {2}}+1)} \over {({\sqrt {2}}-1)\cdot ({{\sqrt {2}}+1})}}$
$x={{a\cdot ({\sqrt {2}}+1)} \over {2-1}}$
$x=a\cdot ({\sqrt {2}}+1)$

Das heißt, dass der Kurier eine Strecke zurücklegt, die aus einer Seitenlänge plus der Diagonale des Quadrates mit der Seitenlänge a entspricht.

$x\approx 120.71Mi$

erweiterte (zweidimensionale) Variante

Laut Angabe reitet der Kurier von der Mitte der hinteren Linie weg (so wie in der animierten Skizze oben gezeigt). Es kommt aber ganz genau das gleiche heraus, wenn der Kurier von einer "Ecke" wegreitet - er muss die gleiche Strecke bewältigen und es sind weniger Abschnitte zu rechnen.

Der Abschnitt 1 ist jener an der hinteren und vorderen Flanke. Das Reiten an der hinteren und vorderen Flanke ist prinzipiell gleich. Der Abschnitt 2 ist jener, wo der Kurier in die gleiche Richtung, wie die Armee reitet. Der Abschnitt 3 ist jener, wo der Kurier entgegen der Richtung der Armee reitet.

Wir wissen schon aus der einfacheren Aufgabenstellung oben, dass wir niemals die Geschwindigkeiten der Armee und des Kuriers ermitteln können. Zum Rechnen brauchen wir kurz $v_{K}$ und $v_{A}$ - die Geschwindigkeiten von Kurier und Armee. Ermittelt kann nur das Verhältnis zwischen Armeegeschwindigkeit und Kuriergeschwindigkeit werden.

$q={v_{A} \over v_{K}}$
$v_{A}=q\cdot v_{K}$

Der Abschnitt 1 ist der, wo der Kurier "schräg" reitet. Das ganze ist ein rechtwinkeliges Dreieck dessen Hypertonuse, der zurückgelegte Weg des Kuriers $v_{K}\cdot t_{1}$, dessen eine Kathete, der zurückgelegte Weg der Armee $v_{A}\cdot t_{1}$ und dessen zweite Kathete die Breite der Armee $a$ ist.

$(v_{K}\cdot t_{1})^{2}=(v_{A}\cdot t_{1})^{2}+a^{2}$

Das $v_{A}$ wird durch $v_{K}\cdot q$ ersetzt.

$(v_{K}\cdot t_{1})^{2}=(v_{K}\cdot q\cdot t_{1})^{2}+a^{2}$
$(v_{K}\cdot t_{1})^{2}-(v_{K}\cdot t_{1}\cdot q)^{2}=a^{2}$
$(v_{K}\cdot t_{1})^{2}\cdot (1-q^{2})=a^{2}$
$v_{K}^{2}\cdot t_{1}^{2}\cdot (1-q^{2})=a^{2}$
$t_{1}^{2}={a^{2} \over v_{K}^{2}}\cdot {1 \over {1-q^{2}}}$
$t_{1}={a \over v_{K}}\cdot {1 \over {\sqrt {1-q^{2}}}}$

Im Abschnitt 2 reitet der Kurier in die gleiche Richtung wie die Armee. Der Kurier reitet von hinteren Ende der Armee zum vorderen, dabei läuft ihm das vordere Ende davon. Das vordere Ende hat definitionsgemäß einen vorsprung von $a$.

$v_{K}\cdot t_{2}=v_{A}\cdot t_{2}+a$
$v_{K}\cdot t_{2}=v_{K}\cdot q\cdot t_{2}+a$
$v_{K}\cdot t_{2}-v_{K}\cdot t_{2}\cdot q=a$
$v_{K}\cdot t_{2}\cdot (1-q)=a$
$t_{2}={a \over v_{K}}\cdot {1 \over {1-q}}$

Im Zeitablauf reitet der Kurier das gleiche Dreieck wie im Abschnitt 1.

Im Abschnitt 3 reitet der Kurier von der vorderen Flanke zur Hinteren, dabei kommt ihm der Hintere Abschnitt entgegen, der zu Beginn a von ihm entfernt ist.

$v_{K}\cdot t_{3}+v_{A}\cdot t_{3}=a$
$v_{K}\cdot t_{3}+v_{K}\cdot q\cdot t_{3}=a$
$v_{K}\cdot t_{3}\cdot (1+q)=a$
$t_{3}={a \over v_{K}}\cdot {1 \over {1+q}}$

Die Zeiten $t_{1},t_{2},t_{3}$ brauchen wir um die Gesamtzeit auszudrücken, die der ganze Vorgang dauert. Die Zeit $t_{1}$ kommt zwei Mal vor: einmal bei der hinteren Flanke und einmal bei der vorderen Flanke. Die Gesamtzeit ist somit $2\cdot t_{1}+t_{2}+t_{3}$. Das ist genau jene Zeit, die die Armee benötigt um ihre eigene Länge abzuschreiten. Somit:

$a=v_{A}\cdot (2\cdot t_{1}+t_{2}+t_{3})$

Jetzt setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

$a=v_{K}\cdot q\cdot {a \over v_{K}}{\big (}{2 \over {\sqrt {1-q^{2}}}}+{1 \over {1-q}}+{1 \over {1+q}}{\big )}$

Das $v_{K}$ kürzt sich weg - beide Seiten können durch $a$ gekürzt werden - das einsame $q$ vor der Klammer kommt auf die andere Seite:

${1 \over q}={2 \over {\sqrt {1-q^{2}}}}+{1 \over {1-q}}+{1 \over {1+q}}$

Die Summe auf der rechten Seite bekommt einen gemeinsamen Nenner - wir wissen, dass $(1-q)\cdot (1+q)=1-q^{2}$ ist.

${1 \over q}={{2\cdot (1-q^{2})+{\sqrt {1-q^{2}}}\cdot (1+q)+{\sqrt {1-q^{2}}}\cdot (1-q)} \over {{\sqrt {1-q^{2}}}\cdot (1-q^{2})}}$

Das ${\sqrt {1-q^{2}}}$ stört ein wenig - es kommt aber in jedem der Summanden oberhalb des Bruches vor, denn $(1-q^{2})={\sqrt {1-q^{2}}}\cdot {\sqrt {1-q^{2}}}$ . Man kann also dadurch kürzen - eine Wurzel bleibt aber leider über.

${1 \over q}={{2\cdot {\sqrt {1-q^{2}}}+(1+q)+(1-q)} \over {1-q^{2}}}$
${1 \over q}={{2\cdot {\sqrt {1-q^{2}}}+2} \over {1-q^{2}}}$

Um die Wurzel los zu werden, bringen wir die Wurzel auf eine Seite und quadrieren dann beide Seiten. Durch das Quadrieren, bekommen wir aber zusätzliche Lösungen für q.

${{1-q^{2}} \over q}=2\cdot {\sqrt {1-q^{2}}}+2$
${{1-q^{2}} \over {2q}}={\sqrt {1-q^{2}}}+1$
${{1-q^{2}} \over {2q}}-1={\sqrt {1-q^{2}}}$
${{1-q^{2}-2q} \over {2q}}={\sqrt {1-q^{2}}}$
${\big (}{{1-q^{2}-2q} \over {2q}}{\big )}^{2}=1-q^{2}$
${{1+q^{4}+2q^{2}-2q^{2}-4q+4q^{3}} \over {4q^{2}}}=1-q^{2}$
$1+q^{4}+2q^{2}-2q^{2}-4q+4q^{3}=(1-q^{2})\cdot 4q^{2}$
$1+q^{4}+2q^{2}-2q^{2}-4q+4q^{3}=4q^{2}-4q^{4}$

Alles auf eine Seite und Potenzen sortieren:

$5q^{4}+4q^{3}-6q^{2}-4q+1=0$

Dieses Polynom vierten Grades hat vier Lösungen - eine davon ist die Lösung für die Aufgabe. die anderen drei kommen durch die Berechnung dazu (z.B. weil wir um die Wurzel los zu werden quadriert haben). Wenn man sich das Polynom aufzeichnet, dann sieht man, dass das Polynom eine doppelte Nullstelle bei -1 eine irgendwo zwischen 0 und 1 und eine bei 1 hat. Man kann das durch ausprobieren leicht verifizieren. Da -1 eine doppelte Nullstelle ist, kann man obiges Polynom zwei Mal durch $(q+1)$ und wegen der Nullstelle 1 ein Mal durch $(q-1)$ dividieren. Wie man Polynome dividiert steht z.B. auf ___ . Das Dividieren führe ich hier nicht aus - ich schreibe einfach das Ergebnis hin.

$(5q^{4}+4q^{3}-6q^{2}-4q+1)\div (q+1)=5q^{3}-q^{2}-5q+1$
$(5q^{3}-q^{2}-5q+1)\div (q+1)=5q^{2}-6q+1$
$(5q^{2}-6q+1)\div (q-1)=5q-1$

Die Lösungen -1 und 1 kommen für uns nicht in betracht, da der Kurier ja schneller reiten muss, als die Armee - somit muss $0<q<1$ gelten. Die Lösung finden wir mit dem zurück gebliebenen Polynom ersten Grades:

$5q-1=0$
$5q=1$
$q={1 \over 5}$

So, das war's (fast) die Armee bewegt sich 5 Mal langsamer als der Kurier - oder der Kurier muss 5 Mal schneller reiten als die Armee, damit er sie in der gleichen Zeit umrunden kann in der die Armee ihre eigene Länge abschreitet.

Es war aber nach dem Weg gefragt, den der Kurier zurücklegt. Dazu brauchen wir die Gesamtzeit, für die es schon weiter oben eine Formel gibt. Diese Gesamtzeit $2\cdot t_{1}+t2+t3$ multiplizieren wir mit der Geschwindigkeit des Kuriers und erhalten den Weg x.

$x=v_{K}\cdot {a \over v_{K}}\cdot {\big (}{2 \over {\sqrt {1-q^{2}}}}+{1 \over {1-q}}+{1 \over {1+q}}{\big )}$

Das $v_{K}$ kürzt sich weg - für q setzen wir ${1 \over 5}$ ein.

$x=a\cdot {\big (}{2 \over {\sqrt {1-{1 \over 25}}}}+{1 \over {1-{1 \over 5}}}+{1 \over {1+{1 \over 5}}}{\big )}$
$x=a\cdot {\big (}{2 \over {\sqrt {24 \over 25}}}+{1 \over {4 \over 5}}+{1 \over {6 \over 5}}{\big )}$
$x=a\cdot {\big (}{{2\cdot 5} \over {\sqrt {24}}}+{5 \over 4}+{5 \over 6}{\big )}$

Da 24 gleich 4 mal 6 ist - ist der gemeinsame Nenner $4\cdot {\sqrt {6}}\cdot 3$ .