MR a1 Loesung Fossy

...und wie geht's weiter?

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Gegeben sind 7 Werte - die ersten 7 Werte. Gesucht ist eine Regel für die weiteren Werte. Nichts liegt näher, als das über ein Polynom zu lösen. $p(i)$ wobei $i$ die gewünschte Zeile ist. Wir kennen $p(0)$ ... $p(6)$.

$p(0)=1$
$p(1)=11$
$p(2)=21$
$p(3)=1211$
$p(4)=111221$
$p(5)=312211$
$p(6)=13112221$

Also gesucht ist ein Polynom, das genau das oben stehende erfüllt - sonst nix. Die Suche ist einfach, wenn man andere Polynome addiert. Ich nenne sie $q_{j}(i)$ - dieses Polynom (ich brauche 7 verschiedene solche) hat an der Stelle $j$ den Wert 1 - an den anderen (ganzzahligen) Stellen hat es den Wert 0:

$q_{j}(x)={\prod _{k\in \{0..6\}-j}{(x-k)} \over \prod _{k\in \{0..6\}-j}{(j-k)}}$

Das gesuchte $p(x)$ ist dann blos die Summe der geiegneten q's mal dem gewünschten Wert an der jeweiligen Stelle:

$p(x)=1\cdot q_{0}(x)+11\cdot q_{1}(x)+21\cdot q_{2}(x)+...+13112221\cdot q_{6}(x)$

$q_{0}(x)={{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)} \over {(0-1)(0-2)(0-3)(0-4)(0-5)(0-6)}}={{x^{6}-21x^{5}+175x^{4}-735x^{3}+1624x^{2}-1764x+720} \over 720}$

$q_{1}(x)={{(x-0)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)} \over {(1-0)(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)(1-6)}}={{x^{6}-20x^{5}+155x^{4}-580x^{3}+1440x^{2}-720x} \over -120}$

$q_{2}(x)={{(x-0)(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)} \over {(2-0)(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)(2-6)}}={{x^{6}-19x^{5}+137x^{4}-461x^{3}+702x^{2}-360x} \over 48}$

$q_{3}(x)={{(x-0)(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)(x-6)} \over {(3-0)(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)(3-6)}}={{x^{6}-18x^{5}+121x^{4}-372x^{3}+508x^{2}-240x} \over -36}$