MR 03

Was ist 50?

Die Aufgebe besteht darin möglichst viele mathematische Formeln zu finden, bei denen 50 herauskommt. Ich selbst habe die Anzahl (nach zwei Bier) mit "hundert werde ich schon finden" angegeben.

Prinzipiell gibt es natürlich unendlich (sogar überabzählbar unendlich) viele mathematische Formeln, bei denen 50 herauskommt. Die Metaaufgabe besteht also darin, Regeln anzugeben, die zusätzlich erfüllt sein müssen, damit es nicht (ganz) so leicht ist.

Regel 1

Man darf alles verwenden - alle Operatoren - beliebige Funktionen - Summen, Integral - alles was die Mathematik hergibt.

Regel 2

Man könnte z.B. $\underbrace {1+1+\cdots +1} _{50{\text{ Einser}}}$ nehmen, denn das wäre bis jetzt erlaubt. Aber auch $\underbrace {1+1+\cdots +1} _{48{\text{ Einser}}}+2$ oder $\underbrace {1+1+\cdots +1} _{45{\text{ Einser}}}+2+3$ . Allein damit käme man locker auf 100 Formeln.

Die Einschränkung nach Regel 2 ist also: Es müssen in der Formel genau drei Zahlen vorkommen.

Die fünfzig aufaddierten Einser sind damit vom Tisch. Es ist aber erlaubt beliebig viele andere "Dinge" zu verwenden z.B. $\pi$ .

Regel 3

So, jetzt wäre z.B. $15+16+19$ erlaubt. Dann gibt es aber mit $1+1+48$, $1+2+47$, $1+3+46$, usw. insgesamt 299 Möglichkeiten (rechnet nach, vielleicht habe ich mich verzählt) - die zusammengenommen nicht sehr spannend sind.

Die Einschränkung nach Regel 3 ist: Die Formeln dürfen sich nicht nur durch die eingesetzen drei Zahlen unterscheiden. D.h. nach dem Beispiel von oben $a+b+c$ (wobei a, b und c beliegige Zahlen sind) zählt nur als 1.

Aufgabe

Finde 100 mathematische Formeln, deren Ergebnis 50 ist. In jeder Formel müssen genau drei Zahlen vorkommen (nicht mehr, aber auch nicht weniger). Formeln, die sonst gleich aussehen (die gleichen Operatoren bzw. Symbole verwenden) und bloß andere drei Zahlen enthalten zählen nicht.

In der Formel dürfen beliebig viele allgemein bekannte Konstante - wie z.B. $\pi$ - vorkommen. Das Quadrieren ist zwar eine Funktionen - aber hingeschrieben braucht man dafür eine Zahl - nämlich 2: z.B. $x^{2}$ . Auch Indizes zählen als Zahlen.

Lösung

Bitte versucht es zuerst selber - drückt nicht gleich auf den Link.

Fossys (vorläufige) Lösung (ich weiß, man wird sicher darüber streiten, ob ich meine Aufgabe 100 Formeln zu finden gelöst habe)