4.1 d)

$y''+6x=0$

homogene

$y''=0$

D.h. y zweimal differenziert ist 0, da kann y maximal x hoch zwei sein (Polynom). Homogene Lösung (allgemein) $y_{h}=ax^{2}+bx+c$

$y_{sp}''=-6x$

Einfach zweimal integrieren:

$y_{sp}'=-3x^{2}$

(kein +C, da man ja nur eine spezielle Lösung sucht!)

$y_{sp}=-x^{3}$

$y=y_{sp}+y_{h}$
$y=-x^{3}+ax^{2}+bx+c$

(a,b,c beliebig)

$y''+6x-3=0$

$y_{h}''=0$
$y_{h}=ax^{2}+bx+c$

$y_{sp}''=-6x+3$
$y_{sp}'=-3x^{2}+3x$
$y_{sp}=-x^{3}+3/2x^{2}$

$y=y_{sp}+y_{h}$
$y=-x^{3}+3/2x^{2}+ax^{2}+bx+c$
Da a,b,c beliebig - im speziellen a - ist die allgemeine Lösung:

$y=-x^{3}+ax^{2}+bx+c$