Difference between revisions of "MR 08 Loesung"
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Dabei steht aber immer eine Person frei (das ist der Platz <math>n-1</math>). Der Tisch hat zwei Seiten; auf der oberen Seite ist der erste Platz frei, der nächste hat die Nummer 0, dann folgt, 1 usw. bis <math>{{n-1} \over 2}-1</math>. Die andere Seite des Tisches wird von links weg mit dem Platz <math>{{n-1} \over 2}</math>, gefolgt von der nächsten Zahl, usw. bis <math>n-1</math> benannt. | Dabei steht aber immer eine Person frei (das ist der Platz <math>n-1</math>). Der Tisch hat zwei Seiten; auf der oberen Seite ist der erste Platz frei, der nächste hat die Nummer 0, dann folgt, 1 usw. bis <math>{{n-1} \over 2}-1</math>. Die andere Seite des Tisches wird von links weg mit dem Platz <math>{{n-1} \over 2}</math>, gefolgt von der nächsten Zahl, usw. bis <math>n-1</math> benannt. | ||
| − | <math>\begin{ | + | <math>\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \\ |
| − | & 0 & 1 & 2 & \cdots & i & {{n-1} \over 2}-1 \\ | + | & 0 & 1 & 2 & \cdots & i & \cdots & {{n-1} \over 2}-1 \\ |
| − | n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & j & {{n-1} \over 2} | + | \hline |
| − | \end{ | + | n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & j & \cdots & {{n-1} \over 2} |
| + | \end{array}</math> | ||
| − | In der obigen Darstellung sind die <b>Plätze</b> dargestellt. Die Personen haben die Gleichen Nummern (<math>0 \cdots n-1</math>. Zu Beginn nehmen die Personen die gleichen Plätze ein, die ihrer eigenen Nummer | + | In der obigen Darstellung sind die <b>Plätze</b> dargestellt. Die Personen haben die Gleichen Nummern (<math>0 \cdots n-1</math>). Zu Beginn nehmen die Personen die gleichen Plätze ein, die ihrer eigenen Nummer entsprechen, dann prosten sich alle möglichen <b>Gegenüber</b> (<math>0 \leftrightarrow n-2 , 1 \leftrightarrow n-3 , \cdots</math>) zu; der Platz <math>n-1</math> hat Pause. Dann wandert jede Person zu dem Platz mit der nächst höheren Nummer weiter. Von Platz <math>n-1</math> wird zu Platz 0 gewechselt. |
Der allgemeine Platz <math>i</math> hat das Gegenüber <math>j</math>. Um von <math>i</math> aus bis zu <math>j</math> zu gelangen, muss man die Anzahl an Plätzen rechts von <math>i</math> <b>zweimal</b> (oben und unten) überspringen. Rechts von <math>i</math> sind <math>{{n-1} \over 2}-1 - i</math> Plätze. | Der allgemeine Platz <math>i</math> hat das Gegenüber <math>j</math>. Um von <math>i</math> aus bis zu <math>j</math> zu gelangen, muss man die Anzahl an Plätzen rechts von <math>i</math> <b>zweimal</b> (oben und unten) überspringen. Rechts von <math>i</math> sind <math>{{n-1} \over 2}-1 - i</math> Plätze. | ||
| − | <math>j = i + 2 ({{n-1} \over 2}-1) + 1</math> | + | <math>\begin{array}{lcl} |
| + | j & = & i + 2 \Big( {{n-1} \over 2}-1 - i\Big) + 1 \\ | ||
| + | & = & i + n -1 -2 -2i + 1 \\ | ||
| + | & = & n - 2 - i \\ | ||
| + | i & = & n - 2 - j \\ | ||
| + | j - i & = & n - 2 - 2i \\ | ||
| + | & = & j - (n -2 -j) \\ | ||
| + | & = & 2j - (n -2) | ||
| + | \end{array}</math> | ||
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| + | <math>j - i</math> sind die "Schritte", die man in der Zählung vom Platz <math>i</math> aus weiterwandern muss um zu Platz <math>j</math> zu gelangen. | ||
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| + | Sitzt am Platz <math>i</math> die Person <math>k</math>, dann ist ihr Gegenüber die Person <math>k + n - 2 - 2i \ mod \ n</math>. | ||
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| + | In die andere Richtung: Das gegenüber der Person <math>k</math> auf Platz <math>j</math> ist die Person <math>k - 2j + n - 2 \ mod \ n</math>. | ||
Revision as of 12:16, 27 December 2018
Optimiertes Zuprosten
Durch Herumprobieren auf einem Zettel (was hier nicht wiedergegeben werden kann) kommt man schnell d'rauf, dass es fast mit einem natürlichen "um den Tisch weiterrücken" und dem Zuprosten der jeweiligen Gegenüber funktionieren könnte. Wenn man das aber mit einer geraden Anzahl an Personen (das bietet sich an, weil sich immer alle zuprosten können) nicht funktioniert. Das liegt daran, dass sich nachdem durch das Weiterrücken alle von der einen Seite des Tisches zur anderen gelangt sind, sich wieder ihren gleichen Partnern gegenüber sehen.
Im folgenden wird immer von der Nummer 0 wegnumeriert. Das hat den Vorteil, dass man beim Beweis mit der Modulorechnung, nicht künstlich ein dazu und danach wieder abziehen muss. Die Plätze für Personen sind mit den Zahlen 0 bis benannt.
Jedoch funktioniert das Herumwandern um einen Tisch immer für eine ungerade Anzahl an Personen.
Personenzahl ist ungerade
Dabei steht aber immer eine Person frei (das ist der Platz ). Der Tisch hat zwei Seiten; auf der oberen Seite ist der erste Platz frei, der nächste hat die Nummer 0, dann folgt, 1 usw. bis . Die andere Seite des Tisches wird von links weg mit dem Platz , gefolgt von der nächsten Zahl, usw. bis benannt.
In der obigen Darstellung sind die Plätze dargestellt. Die Personen haben die Gleichen Nummern (). Zu Beginn nehmen die Personen die gleichen Plätze ein, die ihrer eigenen Nummer entsprechen, dann prosten sich alle möglichen Gegenüber () zu; der Platz hat Pause. Dann wandert jede Person zu dem Platz mit der nächst höheren Nummer weiter. Von Platz wird zu Platz 0 gewechselt.
Der allgemeine Platz hat das Gegenüber . Um von aus bis zu zu gelangen, muss man die Anzahl an Plätzen rechts von zweimal (oben und unten) überspringen. Rechts von sind Plätze.
sind die "Schritte", die man in der Zählung vom Platz aus weiterwandern muss um zu Platz zu gelangen.
Sitzt am Platz die Person , dann ist ihr Gegenüber die Person .
In die andere Richtung: Das gegenüber der Person auf Platz ist die Person .
