Nora Math 2013-04-28

Bsp. 35

Maximale Fläche von Grundstück mit 2 runden Ohrwaschln, Abmessungen a,b Zaunlänge = 50m - Umfang U Fläche F.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U = \frac{3}{2} b + a + a \frac{\pi}{2} + b \frac{\pi}{4}}

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Einsetzen von [1] in die obige Formel von F und nach ein paar Umformungen von open-axiom (freies Algebra Programm)

$\cdots F={\frac {a^{2}(\pi ^{3}-44\pi -96)+a(-100\pi ^{2}+600\pi +4800)+5000\pi }{4\pi ^{2}+48\pi +144}}$

Nach a ableiten

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial F}{\partial a} = \frac{a (\pi^3 -44 \pi -96) - 50 \pi^2 + 300 \pi + 2400}{2 \pi^2 + 24 \pi + 72}}

In dieser Form kommt a linear vor, darum gibt es nur eine Lösung, bei der diese Ableitung 0 ist.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = \frac{50 \pi^2 - 300 \pi - 2400}{\pi^3 - 44 \pi -96}}

Das ist eigentlich schon das Ende - für jene, die Zahlen wollen:

a = 14.0190...

Eine wichtige Frage ist allerdings noch, ob diese (eine) Lösung ein Maximum, ein Minimum oder ein Sattelpunkt ist!

Am einfachsten geht das durch Argumentation: Extremwerte gibt es dort, wo die Ableitung Null ist und am Rand. Je nach Sichtweise, hat diese Aufgabe keinen Rand (!), denn es funktioniert im ganzen Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R} . So gesehen gibt es keinen Rand, für jene, die sich keine negativen Längen und keine negativen Flächen vorstellen können - ist der Rand bei 0.

Die Fläche ist 0, falls a=0 oder wenn b=0 ist. Falls man bei 0 einen "Rand" wahrnimmt, dann ist die Fläche am Rand gleich 0 - also sehr klein (Achtung nicht negativ - negative Zahlen sind kleiner).

Für alle anderen Werte a>0 und b>0 (ACHTUNG nicht alle positiven Werte für a ergeben auch positive Werte für b) ist die Fläche positiv und somit größer als 0 => der gefundene Extremwert für a=14.019 muss ein Maximum sein.