NMMRUS 146 Loesung

Welche Strecke bewältigt der Kurier?

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Ich rechne die Aufgabe lieber "allgemein" als mit Zahlen - Zahlen kann man am Schluss immer noch einsetzen. So muss man weniger schreiben (außer diesem Absatz) uns sieht die Zusammenhänge besser.

Die "Länge" der Armee bzw. die Seitenlänge des Quadrats ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} . Wir wissen schon, dass Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=50 Mi} . Die Geschwindigkeit des Kuriers ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_K} . Die Gewschwindigkeit der Armee ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_A} . Die Stecke, die der Kurier in den einzelnen Abschnitten zurücklegt nenne ich $x_{i}$ die Zeit, die er für diesen Abschnitt braucht ist $t_{i}$.

einfache (eindimensionale) Variante

Der Kurier reitet im ersten Abschnitt die Strecke $x_{1}$ - während die Armee in der gleiche Zeit die Strcke $(x_{1}-a)$ zurücklegt.

$x_{1}=v_{K}\cdot t_{1}$
$x_{1}-a=v_{A}\cdot t_{1}$

Durch "Umformen" entledigen wir uns dem $t_{1}$ und finden das $x_{1}$.

$t_{1}={x_{1} \over v_{K}}$
$x_{1}-a=v_{A}\cdot {x_{1} \over v_{K}}$
$x_{1}\cdot (1-{v_{A} \over v_{K}})=a$
$x_{1}={a \over {1-{v_{A} \over v_{K}}}}$

Im Zweiten Abschnitt reitet der Kurier die Strecke $x_{2}$ - während die Armee die Stecke $(a-x_{2})$ zurücklegt.

$x_{2}=v_{K}\cdot t_{2}$
$a-x_{2}=v_{A}\cdot t_{2}$

Wieder arbeiten wir das $t_{2}$ heraus um das $x_{2}$ auszudrücken.

$t_{2}={x_{2} \over v_{K}}$
$a-x_{2}=v_{A}\cdot {x_{2} \over v_{K}}$
$x_{2}\cdot (1+{v_{A} \over v_{K}})=a$
$x_{2}={a \over {1+{v_{A} \over v_{K}}}}$

Die Antwort aud die Frage ist $x=x_{1}+x_{2}$. Was uns noch zur endgültigen Beantwortung fehlt ist Failed to parse (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle v_{A}} und $v_{K}$. Dazu hilt uns ein Umstand, den wir noch nicht verwendet haben: Die Armee legt während dem Hin- und Herreiten genau die Strecke $a$ zurück.

$x={a \over {1-{v_{A} \over v_{K}}}}+{a \over {1+{v_{A} \over v_{K}}}}$

$x={{a\cdot (1+{v_{A} \over v_{K}})+a\cdot (1-{v_{A} \over v_{K}})} \over {(1-{v_{A} \over v_{K}})(1+{v_{A} \over v_{K}})}}$

$x={{2a} \over {1-({v_{A} \over v_{K}})^{2}}}$

Zur Ermittlung des Quotienten Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {v_A\over v_K}} schauen wir uns den ersten Abschnitt an:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_K={x_1\over t_1}}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_A={{x_1-a}\over t_1}}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {v_A\over v_K}={{x_1-a}\over x_1}=1-{a\over x_1}}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {v_A\over v_K}=1-{a\over {a\over{1-{v_A\over v_K}}}}=1-({1-{v_A\over v_K}})={v_A\over v_K}}

Ups - zumindest habe ich mich nicht verrechnet.