Difference between revisions of "MR a1 Loesung Fossy"

Revision as of 07:48, 29 May 2011

With the bases loedad you struck us out with that answer!

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-== ...und wie geht's weiter? ==
+With the bases loedad you struck us out with that answer!
-[[NMMRUS a1|zurück zur Aufgabenstellung]]
-Gegeben sind 7 Werte - die ersten 7 Werte. Gesucht ist eine Regel für die weiteren Werte. Nichts liegt näher, als das über ein Polynom zu lösen. <math>p(i)</math> wobei <math>i</math> die gewünschte Zeile ist. Wir kennen <math>p(0)</math> ... <math>p(6)</math>.
-<math>p(0) = 1</math><br/>
-<math>p(1) = 11</math><br/>
-<math>p(2) = 21</math><br/>
-<math>p(3) = 1211</math><br/>
-<math>p(4) = 111221</math><br/>
-<math>p(5) = 312211</math><br/>
-<math>p(6) = 13112221</math><br>
-Also gesucht ist ein Polynom, das genau das oben stehende erfüllt - sonst nix. Die Suche ist einfach, wenn man andere Polynome addiert. Ich nenne sie <math>q_j(i)</math> - dieses Polynom (ich brauche 7 verschiedene solche) hat an der Stelle <math>j</math> den Wert 1 - an den anderen (ganzzahligen) Stellen hat es den Wert 0:
-<math>q_j(x) = { \prod_{k \in \{0 ..  6\} -  j}{(x-k)} \over \prod_{k \in \{0 ..  6\} -  j}{(j-k)}}</math><br/>
-Das gesuchte <math>p(x)</math> ist dann blos die Summe der geiegneten q's mal dem gewünschten Wert an der jeweiligen Stelle:
-<math>p(x) = 1\cdot q_0(x) + 11 \cdot q_1(x) + 21 \cdot q_2(x) + ... + 13112221 \cdot q_6(x)</math><br/>
-<br/>
-<math>q_0(x)={{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)} \over { (0-1)(0-2)(0-3)(0-4)(0-5)(0-6)}} = {{x^6-21x^5+175x^4-735x^3+1624x^2-1764x+720}\over 720}</math><br/><br/>
-<math>q_1(x)={{(x-0)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)} \over {(1-0)(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)(1-6)}}={{x^6-20x^5+155x^4-580x^3+1044x^2-720x}\over -120}</math><br/><br/>
-<math>q_2(x)={{(x-0)(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)}\over {(2-0)(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)(2-6)}}={{x^6-19x^5+137x^4-461x^3+702x^2-360x}\over 48 }</math><br/><br/>
-<math>q_3(x)={{(x-0)(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)(x-6)}\over {(3-0)(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)(3-6)}}={{x^6-18x^5+121x^4-372x^3+508x^2-240x}\over -36}</math><br/><br/>
-<math>q_4(x)={{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)}\over {(4-0)(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)(4-6)}}={{x^6-17x^5+107x^4-307x^3+396x^2-180x}\over 48}</math><br/><br/>
-<math>q_5(x)={{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)}\over {(5-0)(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)(5-6)}}={{x^6-16x^5+95x^4-260x^3+324x^2-144x}\over -120}</math><br/><br/>
-<math>q_6(x)={{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}\over{(6-0)(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)}}={{x^6-15x^5+85x^4-225x^3+274x^2-120x}\over 720}</math><br/><br/>
-So jetzt weden nur mehr die Polynome <math>q_j(x)</math> addiert. Das KGV der Nenner ist 720 (das führt dann zu den Faktoren 1,-6,15,-20,15,-6 und 1). Ich addiere die Faktoren vor den Potenzen von x. Das Ergebnis ist folgendes Polynom - die Koefizienten sind in der Tabelle dahinter...
-<math>p(x)={{a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0}\over 720}</math><br/><br/>
-{|
-|<math>a_6</math>
-|<math>= 1        \cdot 1</math>
-|<math>+ 11       \cdot (-6)</math>
-|<math>+ 21       \cdot 15</math>
-|<math>+ 1211     \cdot (-20)</math>
-|<math>+ 111221   \cdot 15</math>
-|<math>+ 312211   \cdot (-6)</math>
-|<math>+ 13112221 \cdot 1</math>
-|=12.883.300
-|-
-|<math>a_5</math>
-|<math>= 1        \cdot             (-21)</math>
-|<math>+ 11       \cdot (-6)  \cdot (-20)</math>
-|<math>+ 21       \cdot 15    \cdot (-19)</math>
-|<math>+ 1211     \cdot (-20) \cdot (-18)</math>
-|<math>+ 111221   \cdot 15    \cdot (-17)</math>
-|<math>+ 312211   \cdot (-6)  \cdot (-16)</math>
-|<math>+ 13112221 \cdot             (-15)</math>
-|=-194.641.140
-|-
-|<math>a_4</math>
-|<math>= 1        \cdot             175</math>
-|<math>+ 11       \cdot (-6)  \cdot 155</math>
-|<math>+ 21       \cdot 15    \cdot 137</math>
-|<math>+ 1211     \cdot (-20) \cdot 121</math>
-|<math>+ 111221   \cdot 15    \cdot 107</math>
-|<math>+ 312211   \cdot (-6)  \cdot 95</math>
-|<math>+ 13112221 \cdot             85</math>
-|=1.112.190.700
-|-
-|<math>a_3</math>
-|<math>= 1        \cdot             (-735)</math>
-|<math>+ 11       \cdot (-6)  \cdot (-580)</math>
-|<math>+ 21       \cdot 15    \cdot (-461)</math>
-|<math>+ 1211     \cdot (-20) \cdot (-372)</math>
-|<math>+ 111221   \cdot 15    \cdot (-307)</math>
-|<math>+ 312211   \cdot (-6)  \cdot (-260)</math>
-|<math>+ 13112221 \cdot             (-225)</math>
-|=-2.966.471.100
-|-
-|<math>a_2</math>
-|<math>= 1        \cdot             1624</math>
-|<math>+ 11       \cdot (-6)  \cdot 1044</math>
-|<math>+ 21       \cdot 15    \cdot 702</math>
-|<math>+ 1211     \cdot (-20) \cdot 508</math>
-|<math>+ 111221   \cdot 15    \cdot 396</math>
-|<math>+ 312211   \cdot (-6)  \cdot 324</math>
-|<math>+ 13112221 \cdot             274</math>
-|=3.634.313.200
-|-
-|<math>a_1</math>
-|<math>= 1        \cdot             (-1764)</math>
-|<math>+ 11       \cdot (-6)  \cdot (-720)</math>
-|<math>+ 21       \cdot 15    \cdot (-360)</math>
-|<math>+ 1211     \cdot (-20) \cdot (-240)</math>
-|<math>+ 111221   \cdot 15    \cdot (-180)</math>
-|<math>+ 312211   \cdot (-6)  \cdot (-144)</math>
-|<math>+ 13112221 \cdot             (-120)</math>
-|=-1.598.267.760
-|-
-|<math>a_0</math>
-|
-|
-|
-|
-|
-|
-|
-|=720
-|-
-|}
-<math>p(x)={{12.883.300 x^6 -194.641.140 x^5 + 1.112.190.700 x^4 -2.966.471.100 x^3 + 3.634.313.200 x^2 -1.598.267.760 x + 720}\over 720}</math><br/>
-Das Polynom ist so konstruiert, dass für p(0) .. p(6) die oben angegebenen Werte herauskommen. Die Frage "wie geht's weiter?" lässt sich mit p(x) so beantworten:
-<math>p(7)=89.079.831</math><br/>
-<math>p(8)=355.262.121</math><br/>
-<math>p(9)=1.066.485.931</math><br/>
-...<br/><br/>

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