Jan Math 2008-12-05

4.1 d)

$y''+6x=0$
- homogene -
$y''=0$
D.h. y zweimal differenziert ist 0, da kann y maximal x hoch zwei sein (Polynom). Homogene Lösung (allgemein)
$y_{h}=ax^{2}+bx+c$
- spezielle Lösung -
$y_{sp}''=-6x$
Einfach zweimal integrieren:
$y_{sp}'=-3x^{2}$
(kein +C, da man ja nur eine spezielle Lösung sucht!)
$y_{sp}=-x^{3}$
- Gesamtlösung -
$y=y_{sp}+y_{h}$
$y=-x^{3}+ax^{2}+bx+c$
(a,b,c beliebig)

4.1 e)

$y''+6x-3=0$
- homogene -
$y_{h}''=0$
$y_{h}=ax^{2}+bx+c$
- spezielle -
$y_{sp}''=-6x+3$
$y_{sp}'=-3x^{2}+3x$
$y_{sp}=-x^{3}+{3 \over 2}x^{2}$
- Gesamtlösung -
$y=y_{sp}+y_{h}$
$y=-x^{3}+{3 \over 2}x^{2}+ax^{2}+bx+c$
Da a,b,c beliebig - im speziellen a - ist die allgemeine Lösung (diesmal ein 'anderes' a):
$y=-x^{3}+ax^{2}+bx+c$

4.1 f)

$y''+12x^{2}-4x=1$
- homogene (wie schon zwei Mal) -
$y_{h}=ax^{2}+bx+c$
- spezeille -
$y_{sp}''=-12x^{2}+4x+1$
$y_{sp}'=-4x^{3}+2x^{2}+x$
$y_{sp}=-x^{4}+{2 \over 3}x^{3}+{1 \over 2}x^{2}$
Wir wissen schon, dass uns wegen der homogenen Lösung der Faktor vor dem $x^{2}$ wurscht ist
$y_{sp2}=-x^{4}+{2 \over 3}x^{3}$
- Gesmatlösung -
$y=-x^{4}+{2 \over 3}x^{3}+ax^{2}+bx+c$