Difference between revisions of "MR 08 Loesung"

From Wikiwasnonet
Jump to navigation Jump to search
 
(26 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 4: Line 4:
 
Durch Herumprobieren auf einem Zettel (was hier nicht wiedergegeben werden kann) kommt man schnell d'rauf, dass es fast mit einem <i>natürlichen</i> "um den Tisch weiterrücken" und dem Zuprosten der jeweiligen Gegenüber funktionieren könnte. Wenn man das aber mit einer <i>geraden</i> Anzahl an Personen (das bietet sich an, weil sich immer <i>alle</i> zuprosten können) <b>nicht</b> funktioniert. Das liegt daran, dass sich nachdem durch das Weiterrücken alle von der einen Seite des Tisches zur anderen gelangt sind, sich wieder ihren gleichen Partnern gegenüber sehen.  
 
Durch Herumprobieren auf einem Zettel (was hier nicht wiedergegeben werden kann) kommt man schnell d'rauf, dass es fast mit einem <i>natürlichen</i> "um den Tisch weiterrücken" und dem Zuprosten der jeweiligen Gegenüber funktionieren könnte. Wenn man das aber mit einer <i>geraden</i> Anzahl an Personen (das bietet sich an, weil sich immer <i>alle</i> zuprosten können) <b>nicht</b> funktioniert. Das liegt daran, dass sich nachdem durch das Weiterrücken alle von der einen Seite des Tisches zur anderen gelangt sind, sich wieder ihren gleichen Partnern gegenüber sehen.  
  
−
Im folgenden wird immer von der Nummer 0 wegnumeriert. Das hat den Vorteil, dass man beim Beweis mit der Modulorechnung, nicht künstlich ein dazu und danach wieder abziehen muss. Die Plätze für <math>n</math> Personen sind mit den Zahlen 0 bis <math>n-1</math> benannt.
+
Im folgenden wird immer von der Nummer 0 wegnumeriert. Das hat den Vorteil, dass man beim Beweis mit der Modulorechnung, nicht künstlich eins dazu und danach wieder abziehen muss. Die Plätze für <math>n</math> Personen sind mit den Zahlen 0 bis <math>(n-1)</math> benannt.
  
−
Jedoch funktioniert das Herumwandern um einen Tisch immer für eine <i>ungerade</i> Anzahl an Personen.  
+
Jedoch funktioniert das Herumwandern um einen Tisch immer für eine <i>ungerade</i> Anzahl an Personen.
  
 
==Personenzahl ist ungerade==
 
==Personenzahl ist ungerade==
  
−
Dabei steht aber immer eine Person frei (das ist der Platz <math>n-1</math>). Der Tisch hat zwei Seiten; auf der oberen Seite ist der erste Platz frei, der nächste hat die Nummer 0, dann folgt, 1 usw. bis <math>{{n-1} \over 2}-1</math>. Die andere Seite des Tisches wird von links weg mit dem Platz <math>{{n-1} \over 2}</math>, gefolgt von der nächsten Zahl, usw. bis <math>n-1</math> benannt.
+
Dabei steht aber immer eine Person frei (das ist der Platz <math>(n-1)</math>). Der Tisch hat zwei Seiten; auf der oberen Seite ist der erste Platz frei, der nächste hat die Nummer 0, dann folgt, 1 usw. bis <math>\Big({{n-1} \over 2}-1 \Big)</math>. Die andere Seite des Tisches wird von links weg mit dem Platz <math>\Big({{n-1} \over 2} \Big)</math>, gefolgt von der nächsten Zahl, usw. bis <math>(n-1)</math> benannt.
 +
 
 +
===Plätze===
  
 
<math>\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \\
 
<math>\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \\
Line 18: Line 20:
 
\end{array}</math>
 
\end{array}</math>
  
−
In der obigen Darstellung sind die <b>Plätze</b> dargestellt. Die Personen haben die Gleichen Nummern (<math>0 \cdots n-1</math>). Zu Beginn nehmen die Personen die gleichen Plätze ein, die ihrer eigenen Nummer entsprechen, dann prosten sich alle möglichen <b>Gegenüber</b> (<math>0 \leftrightarrow n-2 , 1 \leftrightarrow n-3 , \cdots</math>) zu; der Platz <math>n-1</math> hat Pause. Dann wandert jede Person zu dem Platz mit der nächst höheren Nummer weiter. Von Platz <math>n-1</math> wird zu Platz 0 gewechselt.
+
===Offsets zu Gegenüber===
 +
 
 +
<math>\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \\
 +
  & n-2 & n-4 & n-6 & \cdots & n-2k & \cdots & 1 \\
 +
\hline
 +
-- & 2  & 4  & 6  & \cdots & 2k  & \cdots & n-3
 +
\end{array}</math>
 +
 
 +
Die Plätze als auch die Personen haben Zahlen von 0 bis <math>n-1</math>. Die Personen nehmen zu Beginn an den Plätzen platz, die ihrer eigenen Zahl entsprechen. Dann prosten sich die jeweiligen Gegenüber zu - in der Darstellungen prosten die Leute "oben" jenen "unten" zu. Im nächsten Schritt wechseln alle Personen einen Platz weiter und das Zuprosten beginnt von neuem. Es prosten sich (<math>n</math> ist <b>ungerade</b>) immer <math>\Big({{n-1} \over 2} \Big)</math> Personen gleichzeitig zu. Nach <math>n</math> gegenseitigen Zuprostungen und Weiterrückungen sind wieder alle am gleichen Platz, wie zuvor. Es haben also <math>\Big({{n-1} \over 2} n \Big)</math> Zuprostungen stattgefunden - das ist genau <math>\binom{n}{2}</math>! Es haben sich aber nur wirklich alle zugeprostet, wenn sich während der <math>n</math> Weiterrückungen nicht die gleichen Pärchen wieder begegnet sind. Der Beweis besteht darin genau das zu zeigen - und das gelingt mit den Offsets.
 +
 
 +
Die Offsets geben an wie weit das Gegenüber "entfernt" ist. Dabei wird im Restklassenring modulo <math>n</math> gerechnet. D.h. dass es nur Zahlen zwischen 0 und <math>(n-1)</math> gibt. Nach <math>(n-1)</math> kommt nicht <math>n</math> - sondern 0. Vor 0 kommt <math>(n-1)</math>. Z.B. ist das Gegenüber von Platz 2 der Platz <math>(n-4)</math>. Der Offset auf Platz ist 2 ist <math>(n-6)</math>, weil <math>2+(n-6)=n-4</math> ist. Der Offset an Platz <math>(n-4)</math> ist 6, da <math>(n-4)+6=n+2</math> ist wegen der Modulorechnung muss man <math>n</math> subtrahieren um in den Zielbereich 0 bis <math>n-1</math> zukommen und erhält 2.
  
−
Der allgemeine Platz <math>i</math> hat das Gegenüber <math>j</math>. Um von <math>i</math> aus bis zu <math>j</math> zu gelangen, muss man die Anzahl an Plätzen rechts von <math>i</math> <b>zweimal</b> (oben und unten) überspringen. Rechts von <math>i</math> sind <math>{{n-1} \over 2}-1 - i</math> Plätze.
+
Bei den Plätzen sind die allgemeinen Plätze <math>i</math> mit dem Gegenüber <math>j</math> zur Analyse "vorgesehen". Nach Platz <math>i</math> kommen noch <math>\Big({{{n-1} \over 2} -1 - i} \Big)</math> Plätze auf dieser Seite des Tisches - auf der anderen Seite nochchmals so viele und dann noch einer bis zum Platz <math>j</math>.
  
 
<math>\begin{array}{lcl}
 
<math>\begin{array}{lcl}
Line 32: Line 44:
 
\end{array}</math>
 
\end{array}</math>
  
−
<math>j - i</math> sind die "Schritte", die man in der Zählung vom Platz <math>i</math> aus weiterwandern muss um zu Platz <math>j</math> zu gelangen.
+
<math>(j-i)</math> ist der Offset von Platz <math>i</math> - <math>(i-j)</math> oder <math>-(j-i)</math> ist der Offset von Platz <math>j</math>.
 +
 
 +
<math>\begin{array}{lcl}
 +
j-i & = & n - 2 - 2i \\
 +
i-j & = & 2i+2n+2
 +
\end{array}</math>
 +
 
 +
Da <math>i-j</math> <b>negativ</b> ist wurde <math>n</math> dazugezählt (Restklassenring modulo <math>n</math>). Man erkennt auch, dass der Offset der "oberen" Seite (<math>j-i</math>) immer ungerade ist (weil <math>n</math> ungerade ist) - und der Offset der "unteren" Seite immer gerade ist (wegen der Faktoren 2). D.h. aber auch, dass "oben" alle möglichen ungeraden Offests und "unten" alle möglichen geraden Offsets vorkommen - somit <b>alle</b> möglichen Offsets vorkommen. <b>Darum</b> treffen sich alle möglichen Pärchen!
 +
 
 +
== Personzahl ist gerade - wie's nicht geht==
 +
 
 +
Wenn man das um den Tisch weiterrücken, wie oben gezeigt mit geradem n durchführt, dann treffen sich nicht alle nötigen Pärchen.
 +
 
 +
Die Plätze sind wieder von 0 bis <math>n-1</math> durchnumeriert:
 +
 
 +
===Plätze===
 +
 
 +
<math>\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \\
 +
0  & 1  & 2  & 3  & \cdots & i & \cdots & {n \over 2}-1 \\
 +
\hline
 +
n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & j & \cdots & {n \over 2}
 +
\end{array}</math>
 +
 
 +
===Offsets zu Gegenüber===
 +
 
 +
<math>\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \\
 +
n-1 & n-3 & n-5 & n-7 & \cdots & n-2k-1 & \cdots & 1 \\
 +
\hline
 +
1  & 3  & 5  & 7  & \cdots & 2k+1  & \cdots & n-1
 +
\end{array}</math>
 +
 
 +
Fast die gleichen Zusammenhänge wie bei den ungeraden <math>n</math>...
  
−
Sitzt am Platz <math>i</math> die Person <math>k</math>, dann ist ihr Gegenüber die Person  
+
<math>\begin{array}{lcl}
−
<math>k + n - 2 - 2i \ \mbox{mod} \ n</math>.
+
j & = & i + 2 \Big( {n \over 2}-1 - i\Big) + 1 \\
 +
  & = & i + n -2 -2i + 1 \\
 +
  & = & n - 1 - i \\
 +
i & = & n - 1 - j \\
 +
j - i & = & n - 1 - 2i \\
 +
      & = & j - (n -1 -j) \\
 +
      & = & 2j - (n -1)
 +
\end{array}</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<math>\begin{array}{lcl}
 +
j-i & = & n - 1 - 2i \\
 +
i-j & = & 2i+1
 +
\end{array}</math>
 +
 
 +
<b>Beide</b> Offsets ("oben" und "unten") sind <b>ungerade</b>! D.h. es kommen gar keine geraden Offsets vor. Darum treffen sich <b>nicht</b> alle möglichen Pärchen und darum geht das auch nicht so.
 +
 
 +
==Personenzahl ist gerade - wie's doch geht==
 +
 
 +
Der Schlüssel zum Erfolg ist der, dass eine Person diesen Ringeltanz <b>nicht</b> mitmacht und nur eine <b>ungerade</b> Anzahl den Ringeltanz durchführt, der ja, wie gezeigt funktioniert. Es wird also eine Person bestimmt, die nicht wandert (hier ist es Paltz <math>(n-1)</math>) - die sitzt auch gleich der Person der "Ungeraden" gegenüber, die gerade keinen Partner bei den Ungeraden hat. Somit prosten alle Ungeraden der sitzen bleibenden Person zu.
 +
 
 +
Die Person an Platz <math>(n-1)</math> bleibt <b>sitzen</b>! Die Person von Platz <math>(n-2)</math> prostet mit Platz <math>(n-1)</math> und wechselt danach zu Platz 0.
 +
 
 +
===Plätze===
 +
 
 +
<math>\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \\
 +
n-1 & 0  & 1  & 2  & \cdots & i & \cdots & {{n-2} \over 2}-1 \\
 +
\hline
 +
n-2 & n-3 & n-4 & n-5 & \cdots & j & \cdots & {{n-2} \over 2}
 +
\end{array}</math>
 +
 
 +
===Offsets zu Gegenüber===
 +
 
 +
<math>\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \\
 +
? & n-3 & n-5 & n-7 & \cdots & n-2k-1 & \cdots & 1 \\
 +
\hline
 +
? & 2  & 4  & 6  & \cdots & 2k+1  & \cdots & n-2
 +
\end{array}</math>
 +
 
 +
Etwas verwirrend ist hier, dass eine <b>ungerade</b> Anzahl an Personen den Ringeltanz aufführt - darum erfolgen die Berechnungen Modulo <math>(n-1)</math>! Die Person <math>(n-1)</math> bleibt auf Platz <math>(n-1)</math> sitzen.
 +
 
 +
<math>\begin{array}{lcl}
 +
j & = & i + 2 \Big( {{n-2} \over 2}-1 - i\Big) + 1 \\
 +
  & = & i + n -4 -2i + 1 \\
 +
  & = & n - 3 - i \\
 +
i & = & n - 3 - j \\
 +
j - i & = & n - 3 - 2i \\
 +
      & = & j - (n -3 -j) \\
 +
      & = & 2j - (n -3)
 +
\end{array}</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<math>\begin{array}{lcl}
 +
j-i & = & n - 3 - 2i \\
 +
i-j & = & 2i-(n-3)+(n-1) \\
 +
    & = & 2i+2
 +
\end{array}</math>
  
−
In die andere Richtung: Das gegenüber der Person <math>k</math> auf Platz <math>j</math> ist die Person
+
Das <math>+(n-1)</math> kommt daher, dass eine Person ausgelassen wird! Die Offset der oberen Reihe sind ungerade, die Offsets der "unteren" sind gerade. Darm kommen wieder alle möglichen Offsets vor.
−
<math>k - 2j + n - 2 \ \mbox{mod} \ n</math>.
 
  
−
Man kann leicht erkennen, dass, wenn eine Person an der oberen Reihe des Tisches ist, sie niemals dem gleichen Gegenüber begegnen kann. Zu prüfen gilt, ob gesichert ist, dass, wenn die Person dann an der unteren Seite des Tisches ist, sie gesichert nicht den gleichen Personen wieder begegnet.
+
Es prosten immer <math>\Big({n \over 2}\Big)</math> Personen gleichzeitig. Nach <math>(n-1)</math> Weiterrückungen ist der Spaß zu ende. Das sind <math>\Big({{n \over 2} (n-1)}\Big)</math> Prostungen also genau <math>\binom{n}{2}</math>.

Latest revision as of 14:55, 3 January 2019

Optimiertes Zuprosten

zurück zur Aufgabenstellung

Durch Herumprobieren auf einem Zettel (was hier nicht wiedergegeben werden kann) kommt man schnell d'rauf, dass es fast mit einem natürlichen "um den Tisch weiterrücken" und dem Zuprosten der jeweiligen Gegenüber funktionieren könnte. Wenn man das aber mit einer geraden Anzahl an Personen (das bietet sich an, weil sich immer alle zuprosten können) nicht funktioniert. Das liegt daran, dass sich nachdem durch das Weiterrücken alle von der einen Seite des Tisches zur anderen gelangt sind, sich wieder ihren gleichen Partnern gegenüber sehen.

Im folgenden wird immer von der Nummer 0 wegnumeriert. Das hat den Vorteil, dass man beim Beweis mit der Modulorechnung, nicht künstlich eins dazu und danach wieder abziehen muss. Die Plätze für Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} Personen sind mit den Zahlen 0 bis Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-1)} benannt.

Jedoch funktioniert das Herumwandern um einen Tisch immer für eine ungerade Anzahl an Personen.

Personenzahl ist ungerade

Dabei steht aber immer eine Person frei (das ist der Platz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-1)} ). Der Tisch hat zwei Seiten; auf der oberen Seite ist der erste Platz frei, der nächste hat die Nummer 0, dann folgt, 1 usw. bis Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Big({{n-1} \over 2}-1 \Big)} . Die andere Seite des Tisches wird von links weg mit dem Platz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Big({{n-1} \over 2} \Big)} , gefolgt von der nächsten Zahl, usw. bis Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-1)} benannt.

Plätze

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \\ & 0 & 1 & 2 & \cdots & i & \cdots & {{n-1} \over 2}-1 \\ \hline n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & j & \cdots & {{n-1} \over 2} \end{array}}

Offsets zu Gegenüber

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \\ & n-2 & n-4 & n-6 & \cdots & n-2k & \cdots & 1 \\ \hline -- & 2 & 4 & 6 & \cdots & 2k & \cdots & n-3 \end{array}}

Die Plätze als auch die Personen haben Zahlen von 0 bis Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-1} . Die Personen nehmen zu Beginn an den Plätzen platz, die ihrer eigenen Zahl entsprechen. Dann prosten sich die jeweiligen Gegenüber zu - in der Darstellungen prosten die Leute "oben" jenen "unten" zu. Im nächsten Schritt wechseln alle Personen einen Platz weiter und das Zuprosten beginnt von neuem. Es prosten sich (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ist ungerade) immer Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Big({{n-1} \over 2} \Big)} Personen gleichzeitig zu. Nach Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} gegenseitigen Zuprostungen und Weiterrückungen sind wieder alle am gleichen Platz, wie zuvor. Es haben also Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Big({{n-1} \over 2} n \Big)} Zuprostungen stattgefunden - das ist genau Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \binom{n}{2}} ! Es haben sich aber nur wirklich alle zugeprostet, wenn sich während der Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} Weiterrückungen nicht die gleichen Pärchen wieder begegnet sind. Der Beweis besteht darin genau das zu zeigen - und das gelingt mit den Offsets.

Die Offsets geben an wie weit das Gegenüber "entfernt" ist. Dabei wird im Restklassenring modulo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} gerechnet. D.h. dass es nur Zahlen zwischen 0 und Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-1)} gibt. Nach Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-1)} kommt nicht Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} - sondern 0. Vor 0 kommt Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-1)} . Z.B. ist das Gegenüber von Platz 2 der Platz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-4)} . Der Offset auf Platz ist 2 ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-6)} , weil Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2+(n-6)=n-4} ist. Der Offset an Platz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-4)} ist 6, da Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-4)+6=n+2} ist wegen der Modulorechnung muss man Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} subtrahieren um in den Zielbereich 0 bis Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-1} zukommen und erhält 2.

Bei den Plätzen sind die allgemeinen Plätze Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} mit dem Gegenüber Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} zur Analyse "vorgesehen". Nach Platz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} kommen noch Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Big({{{n-1} \over 2} -1 - i} \Big)} Plätze auf dieser Seite des Tisches - auf der anderen Seite nochchmals so viele und dann noch einer bis zum Platz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} .

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{lcl} j & = & i + 2 \Big( {{n-1} \over 2}-1 - i\Big) + 1 \\ & = & i + n -1 -2 -2i + 1 \\ & = & n - 2 - i \\ i & = & n - 2 - j \\ j - i & = & n - 2 - 2i \\ & = & j - (n -2 -j) \\ & = & 2j - (n -2) \end{array}}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (j-i)} ist der Offset von Platz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} - Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (i-j)} oder Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -(j-i)} ist der Offset von Platz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} .

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{lcl} j-i & = & n - 2 - 2i \\ i-j & = & 2i+2n+2 \end{array}}

Da Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i-j} negativ ist wurde Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} dazugezählt (Restklassenring modulo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ). Man erkennt auch, dass der Offset der "oberen" Seite (Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j-i} ) immer ungerade ist (weil Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ungerade ist) - und der Offset der "unteren" Seite immer gerade ist (wegen der Faktoren 2). D.h. aber auch, dass "oben" alle möglichen ungeraden Offests und "unten" alle möglichen geraden Offsets vorkommen - somit alle möglichen Offsets vorkommen. Darum treffen sich alle möglichen Pärchen!

Personzahl ist gerade - wie's nicht geht

Wenn man das um den Tisch weiterrücken, wie oben gezeigt mit geradem n durchführt, dann treffen sich nicht alle nötigen Pärchen.

Die Plätze sind wieder von 0 bis Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-1} durchnumeriert:

Plätze

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \\ 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & i & \cdots & {n \over 2}-1 \\ \hline n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & j & \cdots & {n \over 2} \end{array}}

Offsets zu Gegenüber

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \\ n-1 & n-3 & n-5 & n-7 & \cdots & n-2k-1 & \cdots & 1 \\ \hline 1 & 3 & 5 & 7 & \cdots & 2k+1 & \cdots & n-1 \end{array}}

Fast die gleichen Zusammenhänge wie bei den ungeraden Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ...

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{lcl} j & = & i + 2 \Big( {n \over 2}-1 - i\Big) + 1 \\ & = & i + n -2 -2i + 1 \\ & = & n - 1 - i \\ i & = & n - 1 - j \\ j - i & = & n - 1 - 2i \\ & = & j - (n -1 -j) \\ & = & 2j - (n -1) \end{array}}


Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{lcl} j-i & = & n - 1 - 2i \\ i-j & = & 2i+1 \end{array}}

Beide Offsets ("oben" und "unten") sind ungerade! D.h. es kommen gar keine geraden Offsets vor. Darum treffen sich nicht alle möglichen Pärchen und darum geht das auch nicht so.

Personenzahl ist gerade - wie's doch geht

Der Schlüssel zum Erfolg ist der, dass eine Person diesen Ringeltanz nicht mitmacht und nur eine ungerade Anzahl den Ringeltanz durchführt, der ja, wie gezeigt funktioniert. Es wird also eine Person bestimmt, die nicht wandert (hier ist es Paltz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-1)} ) - die sitzt auch gleich der Person der "Ungeraden" gegenüber, die gerade keinen Partner bei den Ungeraden hat. Somit prosten alle Ungeraden der sitzen bleibenden Person zu.

Die Person an Platz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-1)} bleibt sitzen! Die Person von Platz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-2)} prostet mit Platz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-1)} und wechselt danach zu Platz 0.

Plätze

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \\ n-1 & 0 & 1 & 2 & \cdots & i & \cdots & {{n-2} \over 2}-1 \\ \hline n-2 & n-3 & n-4 & n-5 & \cdots & j & \cdots & {{n-2} \over 2} \end{array}}

Offsets zu Gegenüber

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \\ ? & n-3 & n-5 & n-7 & \cdots & n-2k-1 & \cdots & 1 \\ \hline ? & 2 & 4 & 6 & \cdots & 2k+1 & \cdots & n-2 \end{array}}

Etwas verwirrend ist hier, dass eine ungerade Anzahl an Personen den Ringeltanz aufführt - darum erfolgen die Berechnungen Modulo Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-1)} ! Die Person Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-1)} bleibt auf Platz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-1)} sitzen.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{lcl} j & = & i + 2 \Big( {{n-2} \over 2}-1 - i\Big) + 1 \\ & = & i + n -4 -2i + 1 \\ & = & n - 3 - i \\ i & = & n - 3 - j \\ j - i & = & n - 3 - 2i \\ & = & j - (n -3 -j) \\ & = & 2j - (n -3) \end{array}}


Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{array}{lcl} j-i & = & n - 3 - 2i \\ i-j & = & 2i-(n-3)+(n-1) \\ & = & 2i+2 \end{array}}

Das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle +(n-1)} kommt daher, dass eine Person ausgelassen wird! Die Offset der oberen Reihe sind ungerade, die Offsets der "unteren" sind gerade. Darm kommen wieder alle möglichen Offsets vor.

Es prosten immer Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Big({n \over 2}\Big)} Personen gleichzeitig. Nach Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n-1)} Weiterrückungen ist der Spaß zu ende. Das sind Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Big({{n \over 2} (n-1)}\Big)} Prostungen also genau Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \binom{n}{2}} .

Retrieved from "https://wiki.iwasno.net/index.php?title=MR_08_Loesung&oldid=2482"