MR 07 Loesung

Die Perle des Abakus

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In der Skizze hat die Kugel ein relativ großes Loch, weil man so die Verhältnisse besser erkennen kann:

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Kugel mit Loch

Durch das (gebohrte) Loch hat die Kugel die Deckkalotten verloren. Die Kugeln auf der Stange der Kugerlrechnenmaschine sitzen näher beieinander als der Durchmesser $D$ der Kugel vorgibt. Dieses kürzere Maß nenne ich $h$ und es hängt natürlich von $D$ und $d$ ab:

$h={\sqrt {D^{2}-d^{2}}}$

Um das gesuchte Volumen der Kugel mit Durchmesser $D$ mit dem Loch mit Durchmesser $d$ zu finden führt (in diesem Fall) der einfachste und schnellste Weg über ein Integral der Querschnitte. Es wird von $0$ bis $h \over 2$ integriert und das Ergebnis mal zwei genommen um das Gesamtvolumen zu erhalten, das auch aus der anderen Hälfte besteht.

$2\int \limits _{0}^{h \over 2}\pi \left({\sqrt {{{D^{2}} \over 4}-x^{2}}}\right)^{2}-\pi {{d^{2}} \over 4}\,dx$

Das mit der Wurzel ist der Radius der Kreisscheibe der Kugel an der Stelle x. Natürlich kann man die Wurzel gegen das Quadrat "kürzen" - genauso, wie $\pi$ herausheben und vor das Integral stellen.

$2\pi \int \limits _{0}^{h \over 2}{{D^{2}} \over 4}-x^{2}-{{d^{2}} \over 4}\,dx$

Ein wenig umrangieren:

$2\pi \int \limits _{0}^{h \over 2}{{D^{2}-d^{2}} \over 4}-x^{2}\,dx$

Und man erkennt das $D^{2}-d^{2}$ als $h^{2}$.

$2\pi \int \limits _{0}^{h \over 2}{{h^{2}} \over 4}-x^{2}\,dx$

Man kann das ganze auch in zwei Integrale zerlegen, die sich einzeln leichter auflösen lassen:

$2\pi \left(\int \limits _{0}^{h \over 2}{{h^{2}} \over 4}-\int \limits _{0}^{h \over 2}x^{2}\,dx\right)$

$2\pi \left({h \over 2}\cdot {{h^{2}} \over 4}-\left|{{x^{3}} \over 3}\right|_{0}^{h \over 2}\right)$

$2\pi \left({{h^{3}} \over 8}-{{{\left({h \over 2}\right)}^{3}} \over 3}\right)=2\pi \left(\left({h \over 2}\right)^{3}-{1 \over 3}\cdot \left({h \over 2}\right)^{3}\right)=2\pi \left({2 \over 3}\cdot \left({h \over 2}\right)^{3}\right)$

${{4\pi } \over 3}\cdot \left({h \over 2}\right)^{3}$

Und das ist das Volumen einer Kugel mit dem Durchmesser $h$!