NMMRUS 123 Loesung

Das Tandem

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Wie verfahren die Drei? Zu Fuß ist A am schnellsten - er sollte die längste Strecke zurücklegen, B die andere Strecke und C sollte nie gehen und immer am Rad fahren.

Am Besten beginnt B zu marschieren, während A+C mit dem Tandem losdüsen. Am Punkt X wird A von C abgesetzt und marschiert Richtung Ziel. C fährt alleine mit dem Rad zurück um B abzuholen bei Y hat C B erreicht - beide radeln jetzt Richtung Ziel. X wurde so gewählt, dass A, B+C gleichzeitig eintreffen. Die Konstelation ist so gewählt, dass B eine kürzere Strecke zurücklegen muss wie A. Weiters sind die ganze Zeit alle 3 "beschäftigt" => es gibt keine Totzeiten => das ist die optimale Lösung.

Problem: Wo ist X - wo ist Y - und wie lange dauert das alles? Los geht's:

B marschiert Richtung Y während A+C losradeln, bei X wird A abgesetzt und C radelt wieder zurück zu Y.

Laut Angabe $v_{a}={1 \over 10}$ M/min; $v_{b}={1 \over 15}$ M/min; $v_{c}={1 \over 20}$ M/min; $v_{f}={40 \over 60}={2 \over 3}$ M/min; L=40M.

Da wir ab nun mit "Zeiten" rechnen (Zeit = Weg / Geschwindigkeit), will ich jetzt die Reziprokwerte einführen und diese (?) Zeitikeiten nennen: a=10min/M; b=15min/M; c=20min/M; f= 1.5min/M.

$t_{1}=y\cdot b$
$t_{1}=(2x-y)f$

Damit lässt sich y lösen:

$y\cdot b=(2x-y)f$
$y\cdot b=2x\cdot f-yf$
$y(b+f)=2x\cdot f$
$y={{2x\cdot f} \over {b+f}}$

Ab nun ist y kein Thema mehr, da wir es mittels x ausdrücken können. Ab nun suchen wir x, dass so gewählt wird, dass A genausolange marschiert wie, C braucht um B abzuholen und zum Ziel zu gelangen...

$t=fx+a(L-x)$ [1]
$t=t_{1}+(L-y)f$
$t={{2x\cdot f} \over {b+f}}b+(L-{{2x\cdot f} \over {b+f}})f$ [2]

Jetzt wird [1] und [2] zusammengeführt:

$fx+aL-ax=x{{2f\cdot b} \over {b+f}}+Lf-x{{2x\cdot f^{2}} \over {b+f}}$
$x(f-a-{{2f\cdot b} \over {b+f}}+{{2f^{2}} \over {b+f}})=Lf-aL$
$x{{(b+f)(f-a)-2f\cdot b+2f^{2}} \over {b+f}}=L(f-a)$
$x={{L(f-a)(b+f)} \over {(b+f)(f-a)-2f(b-f)}}$
$x={{40(1.5-10)(15+1.5)} \over {(15+1.5)(1.5-10)-2\cdot 1.5\cdot (15-1.5)}}$
$x=31.037344$ M
$t=fx+a(L-x)=fx+aL-ax=x(f-a)+aL$
$t=136.182573$ min

D.h. Die ganze Aktion dauert 2 Stunden 16 Minuten und 10.95 Sekunden.