Difference between revisions of "NMMRUS 123 Loesung"
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| − | Wie verfahren die Drei? Zu Fuß ist A am schnellsten - er | + | Wie verfahren die Drei? Zu Fuß ist A am schnellsten - er sollte die längste Strecke zurücklegen, B die andere Strecke und C sollte nie gehen und immer am Rad fahren. |
| − | Am Besten beginnt B zu | + | Am Besten beginnt B zu marschieren, während A+C mit dem Tandem losdüsen. Am Punkt X wird A von C abgesetzt und marschiert Richtung Ziel. C fährt alleine mit dem Rad zurück um B abzuholen bei Y hat C B erreicht - beide radeln jetzt Richtung Ziel. X wurde so gewählt, dass A, B+C gleichzeitig eintreffen. Die Konstelation ist so gewählt, dass B eine kürzere Strecke zurücklegen muss wie A. Weiters sind die ganze Zeit alle 3 "beschäftigt" => es gibt keine Totzeiten => das ist die optimale Lösung. |
Problem: Wo ist X - wo ist Y - und wie lange dauert das alles? Los geht's: | Problem: Wo ist X - wo ist Y - und wie lange dauert das alles? Los geht's: | ||
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| + | [[Image:NMMRUS_123.png|B startet von links und erreicht Y, während C (zuerst mit A) nach X radelt um dann B bei Y abzuholen]] | ||
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| + | B marschiert Richtung Y während A+C losradeln, bei X wird A abgesetzt und C radelt wieder zurück zu Y. | ||
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| + | Laut Angabe <math>v_a={1 \over 10}</math> M/min; <math>v_b={1 \over 15}</math> M/min; <math>v_c={1 \over 20}</math> M/min; <math>v_f={40 \over 60}={2 \over 3}</math> M/min; L=40M. | ||
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| + | Da wir ab nun mit "Zeiten" rechnen (Zeit = Weg / Geschwindigkeit), will ich jetzt die Reziprokwerte einführen und diese (?) Zeitikeiten nennen: a=10min/M; b=15min/M; c=20min/M; f= 1.5min/M. | ||
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| + | <math>t_1=y\cdot b</math><br/> | ||
| + | <math>t_1=(2x-y)f</math><br/> | ||
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| + | Damit lässt sich y lösen: | ||
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| + | <math>y\cdot b = (2x-y) f </math><br/> | ||
| + | <math>y\cdot b = 2x\cdot f - y f</math><br/> | ||
| + | <math>y(b+f)=2x\cdot f</math><br/> | ||
| + | <math>y={{2x\cdot f} \over {b+f}}</math><br/> | ||
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| + | Ab nun ist y kein Thema mehr, da wir es mittels x ausdrücken können. Ab nun suchen wir x, dass so gewählt wird, dass A genausolange marschiert wie, C braucht um B abzuholen und zum Ziel zu gelangen... | ||
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| + | <math>t=f x + a (L-x)</math> [1]<br/> | ||
| + | <math>t=t_1+(L-y) f</math><br/> | ||
| + | <math>t={{2x\cdot f} \over {b+f}} b + (L - {{2x\cdot f} \over {b+f}}) f </math> [2]<br/> | ||
| + | |||
| + | Jetzt wird [1] und [2] zusammengeführt: | ||
| + | |||
| + | <math>f x + a L - a x = x {{2f\cdot b}\over {b+f}} + L f - x {{2x\cdot f^2}\over {b+f}}</math><br/> | ||
| + | <math>x(f-a-{{2f\cdot b}\over {b+f}}+{{2f^2}\over {b+f}})=L f - a L</math><br/> | ||
| + | <math>x{{(b+f)(f-a)-2f\cdot b+2f^2}\over {b+f}} = L(f-a)</math><br/> | ||
| + | <math>x={{L(f-a)(b+f)}\over {(b+f)(f-a)-2f(b-f)}}</math><br/> | ||
| + | <math>x={{40(1.5-10)(15+1.5)}\over {(15+1.5)(1.5-10)-2\cdot 1.5\cdot (15 - 1.5)}}</math><br/> | ||
| + | <math>x=31.037344</math> M<br/> | ||
| + | <math>t=f x + a(L-x)=f x + aL -ax=x(f-a)+aL</math><br/> | ||
| + | <math>t=136.182573</math> min<br/> | ||
| + | |||
| + | D.h. Die ganze Aktion dauert 2 Stunden 16 Minuten und 10.95 Sekunden. | ||
Latest revision as of 13:14, 5 January 2009
Das Tandem
Wie verfahren die Drei? Zu Fuß ist A am schnellsten - er sollte die längste Strecke zurücklegen, B die andere Strecke und C sollte nie gehen und immer am Rad fahren.
Am Besten beginnt B zu marschieren, während A+C mit dem Tandem losdüsen. Am Punkt X wird A von C abgesetzt und marschiert Richtung Ziel. C fährt alleine mit dem Rad zurück um B abzuholen bei Y hat C B erreicht - beide radeln jetzt Richtung Ziel. X wurde so gewählt, dass A, B+C gleichzeitig eintreffen. Die Konstelation ist so gewählt, dass B eine kürzere Strecke zurücklegen muss wie A. Weiters sind die ganze Zeit alle 3 "beschäftigt" => es gibt keine Totzeiten => das ist die optimale Lösung.
Problem: Wo ist X - wo ist Y - und wie lange dauert das alles? Los geht's:
B marschiert Richtung Y während A+C losradeln, bei X wird A abgesetzt und C radelt wieder zurück zu Y.
Laut Angabe M/min; M/min; M/min; M/min; L=40M.
Da wir ab nun mit "Zeiten" rechnen (Zeit = Weg / Geschwindigkeit), will ich jetzt die Reziprokwerte einführen und diese (?) Zeitikeiten nennen: a=10min/M; b=15min/M; c=20min/M; f= 1.5min/M.
Damit lässt sich y lösen:
Ab nun ist y kein Thema mehr, da wir es mittels x ausdrücken können. Ab nun suchen wir x, dass so gewählt wird, dass A genausolange marschiert wie, C braucht um B abzuholen und zum Ziel zu gelangen...
[1]
[2]
Jetzt wird [1] und [2] zusammengeführt:
M
min
D.h. Die ganze Aktion dauert 2 Stunden 16 Minuten und 10.95 Sekunden.