Difference between revisions of "Jan Math 2008-12-05"

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Vorläufig aufgeschoben... <math>M_b</math> ? Biegung ?
 
Vorläufig aufgeschoben... <math>M_b</math> ? Biegung ?
  
= -4.7 g) =
+
= - 4.7 g) =
 
<math>y'-y^2cosx=0</math><br/>
 
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Probe:<br/>
 
Probe:<br/>
 
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<math>{dy \over dx} cosx = -y sinx</math> (* dx / cosx / y)<br/>
<math>{1 \over y} dy = { sinx \over cosx } dx</math> (integrieren)<br/>
+
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Probe:<br/>
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<math>y' cosx + y sinx = c_3 (-sinx cosx + sinx cosx) = 0</math><br/>
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= - 4.7 i) =
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<math>x y' + x y = c_2 {{x -x^2 + x^2} \over e^x}</math><br/>
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Ensetzen y(1)=1<br/>
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= - 4.8 h) =
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<math>{dy \over dx} \sqrt{x} = 1 - 2y</math> (* dx / sqrt(x) / (1-2y))<br/>
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<math>{ 1 \over {1-2y}} dy = { 1 \over \sqrt{x}} dx = x^{-{1 \over 2}} dx</math> (integrieren)<br/>
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<math>-{{ln(2y - 1)} \over 2} = 2 \sqrt{x} + c_1</math><br/>
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<math>-ln(2y - 1) = 4 \sqrt{x} + c_2</math> (e^ )<br/>
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<math>{1 \over {2y -1}} = c_3 e^{4 x^{1 \over 2}}</math><br/>
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<math>2y = {c_4 \over e^{4 x^{1 \over 2}}} + 1</math><br/>
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<math>y = {c_4 \over {2 e^{4 x^{1 \over 2}}}} + {1 \over 2}</math><br/>
 
Probe:<br/>
 
Probe:<br/>
<math>y'=c_3 {sinx \over cosx}</math><br/>
+
<math>y'={ {-c_4 \cdot 2 \cdot 4 \cdot {1 \over 2} x^{-1 \over 2} {e^{4 x^{1 \over 2}}} } \over {({2 e^{4 x^{1/2}})}^2} }</math><br/>
<math>y' cosx = c_3 sinx</math><br/>
+
<math>y'={ {-c_4 \cdot 4 \cdot {1 \over 2} x^{-1 \over 2}  } \over {2 e^{4 x^{1/2}}} }</math><br/>
<math>y sinx = c_3 {sin^2 x \over cosx}</math><br/>
+
<math>y'={ {-c_4 \cdot x^{-1 \over 2}  } \over {e^{4 x^{1/2}}} }</math><br/>
<math>y' cosx + y sinx = c_3 ({{sinx cosx + sin^2 x} \over cosx})</math><br/>
+
<math>y' \sqrt{x}={ {-c_4 \cdot x^{-1 \over 2} \cdot x^{1 \over 2} } \over {e^{4 x^{1 \over 2}}} }</math><br/>
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<math>={ -c_4 \over {e^{4 x^{1 \over 2}}} }</math><br/>
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<math>y' \sqrt{x} + 2y={ {-c_4 \over {e^{4 x^{1 \over 2}}}} + {c_4 \over e^{4 x^{1/2}}} + 1}=1</math> passt<br/>
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 +
= - 6.8 h) =
 +
<math>\int {1 \over {sin^2 x}} \, dx</math><br/>
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<math>({u \over v})'={{u'v - u v'} \over {v^2}}</math><br/>
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<math>v=sinx</math><br/>
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<math>v^2=sin^2 x</math><br/>
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<math>u' sinx - u cosx = 1</math> (das klappt mit u'=sinx und u=-cosx)<br/>
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<math>u=-cosx</math><br/>
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<math>\int {1 \over {sin^2 x}} \, dx  = {-cosx \over sinx} +c = -{cosx \over sinx} +c</math><br/>
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= - 6.8 i) =
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<math>\int {1 \over {1+x^2}}\, dx</math><br/>
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?
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= - 6.9 e) =
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<math>f(x)={1 \over x}</math><br/>
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<math>F(e)=4</math><br/>
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<math>F(x)=lnx + c</math><br/>
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<math>1+c=4</math><br/>
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<math>c=3</math><br/>
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<math>F(x)=lnx+3</math><br/>
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= - 6.9 f) =
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<math>f(x)=2^x</math><br/>
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<math>P(1/3)</math><br/>
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<math>F(1)=3</math><br/>
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<math>f(x)=e^{x ln(2)}=</math><br/>
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<math>3={1 \over ln2}e^{1 ln(2)}+c</math><br/>
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<math>c=3-{2 \over ln2}</math><br/>
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<math>F(x)={1 \over ln2}e^{x ln(2)}+3-{2 \over ln2}</math><br/>
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= - 6.22 d) =
 +
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<math>\int { 1 \over \sqrt {1-x}} \, dx= -\int {1 \over \sqrt {u}}\, du=-\int {u^{-{1 \over 2}}}\, du</math><br/>
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<math>=-{1 \over 2} u^{1\over2}+c</math><br/>
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= - 6.23 d) =
 +
<math>\int { 2a \over  {a+2x}} \, dx</math><br/>
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<math>u=a+2x</math><br/>
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<math>\int { 2a \over  {a+2x}} \, dx={1 \over 2} \int {2a \over u} \, du</math><br/>
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<math>={2a \over 2} lnu+c=a \cdot lnu+c</math><br/>
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<math>=ln((a+2x)^a)+c</math><br/>
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= - 6.24 d) =
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<math>u=4x-1</math><br/>
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<math>dx = {du \over 4}</math><br/>
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<math>\int { 2 \over \sqrt[3] {4x-1}} \, dx = {1 \over 4} \int {2 \over \sqrt[3]{u}} \, du={2 \over 4} \int {u^{-{1 \over 3}}} \, du={1 \over 2} \int {u^{-{1 \over 3}}} \, du</math><br/>
 +
<math>={1 \over 2} \cdot {2 \over 3} u^{2 \over 3}+c</math><br/>
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<math>={2 \over 6} (4x-1)^{2 \over 3}+c</math><br/>
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<math>={1 \over 3} \sqrt[3]{(4x-1)^2}+c</math><br/>
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 +
= - 6.25 d) =
 +
<math>\int (e^{3x} - e^{-3x}) \, dx</math><br/>
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<math>=\int {e^{3x}} \,dx - \int {e^{-3x}} \, dx </math><br/>
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<math>={1 \over 3} e^{3x} - {-1 \over 3} e^{-3x}+c</math><br/>
 +
<math>={{e^{3x} + e^{-3x}} \over 3}+c</math><br/>

Latest revision as of 19:46, 4 December 2008

allgemein

homogene DGL
(oder auch höhere Ableitungen von y)
inhomogene DGL

Gelöst witd zuerst die homogene DGL - die Lösung der inhomogenen ist eine (irgend eine) Löung der inhomogenen plus die allgemeine Löung der homogenen

- 4.1 d)


- homogene -

D.h. y zweimal differenziert ist 0, da kann y maximal x sein (Polynom ersten Grades). Homogene Lösung (allgemein)

- spezielle Lösung -

Einfach zweimal integrieren:

(kein +C, da man ja nur eine spezielle Lösung sucht!)

- Gesamtlösung -


(a,b beliebig)

- 4.1 e)


- homogene -


- spezielle -



- Gesamtlösung -


- 4.1 f)


- homogene (wie schon zwei Mal) -

- spezeille -




- Gesmatlösung -

- 4.2 c)




- allgemein -






[1]
[2]
Jetzt in [2] laut Anfangsbedingung einsetzen:


Jetzt in [1] laut Anfangsbedingung einsetzen:




- 4.2 d)




- allgemein -





[1]
[2]
Einsetzen in [2]


Einsetzen in [1]



- 4.3 a)









Einsetzen y(0)=1


Einsetzen y6)=1





- 4.3 b)









Einsetzen => lineares Gleichungssystem:


[1]


[2]
Subtrahiere [1] von [2]


Einsetzen in [1]



- 4.4

Vorläufig aufgeschoben...  ? Biegung ?

- 4.7 g)



(* dx / )
(integrieren)


Probe:


passt

- 4.7 h)



(* dx / cosx / y)
(integrieren)

(e^ )

Probe:




- 4.7 i)



(* dx / y / sinx)
(integrieren)
(e^ )

Probe:

()

passt

- 4.8 g)




(* dx / x / y)
(integrieren)


Probe:







passt
Ensetzen y(1)=1


- 4.8 h)



(* dx / sqrt(x) / (1-2y))
(integrieren)

(e^ )




Probe:





passt

- 6.8 h)







(das klappt mit u'=sinx und u=-cosx)


- 6.8 i)


?

- 6.9 e)









- 6.9 f)










- 6.22 d)










- 6.23 d)









- 6.24 d)









- 6.25 d)