Quadraträtsel

Dieses Rätsel wurde durch eine Aufgabe in Programming Praxis inspiriert.

n=4

Finde alle vierstelligen Dezimalzahlen, die mit den vier letzten Stellen ihres Quadrats übereinstimmen.

$x\equiv x^{2}{\pmod {10^{4}}}$

Das kann man wie bei Programming Praxis als einfache Programmieraufgabe auffassen, es ist aber auch möglich, die Lösungen mit Papier und Bleistift zu finden.

Verallgemeinerung

Fossy hatte die Idee, das Rätsel zu erweitern. Kann man zu einer Lösung $x_{n}$ von

$x\equiv x^{2}{\pmod {10^{n}}}\quad (1)$

weitere Lösungen $x_{n+1}=d_{n}\cdot 10^{n}+x_{n}$ für $(1)$ mit dem Modulus $10^{n+1}$ finden? Dazu muss man die Dezimalziffer $d_{n}$ bestimmen. Gibt es dafür immer genau eine Möglichkeit oder kann es vorkommen, dass es mehrere oder gar keine Lösung gibt?

Die Folge $(d_{n})$

Die im vorhergehnden Abschnitt eingeführten Dezimalziffern $d_{n}$ bilden eine Folge. Welche Eigenschaften hat diese? Ist sie endlich (weil es keine passende Fortsetzung gibt), eindeutig (oder verzweigt sie)? Ist sie periodisch?