MR 06 Loesung R

Ich nenne die Anzahl der Stellen s, die Zahl n hat also eine Dezimaldarstellung aus s Ziffern mit dem Wert z.

Für Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z > 1} ist n durch z teilbar und daher keine Primzahl, ab jetzt gilt daher Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=1} . Wir betrachten daher Zahlen der Form Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=(10^s - 1)/9} , sie werden als repunits (repeated units) zur Basis 10 bezeichnet. Für die Basis 2 gibt es ja Primzahlen der Form Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^s - 1} , sie sind nach Marin Mersenne benannt.

Die Ziffernsumme hat den Wert s, wenn sie durch 3 teilbar ist, gilt das auch für n, es muss also Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s \equiv \pm 1 \pmod{3}} gelten.

Die Zifferndifferenz hat den Wert 0 wenn s gerade und 1, wenn s ungerade ist. Weil Zahlen mit der Zifferndifferenz Null durch 11 teilbar sind, kommen nur ungerade Zahlen für s in Frage (der Fall s=2 wird ja schon ausgeschlossen).

Zusammen mit 2 ergibt sich daher, dass s ≡ ±1 (mod 6) sein muss, um Vielfache von 3 und 11 auszuschließen.

Eine kurze Suche liefert Kandidaten s=19 und s=23, die entsprechenden Zahlen bestehen probabilistische Primzahltests, ich bin ziemlich sicher, dass es sich bei den repunits $(10^{19}-1)/9$ und Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (10^{23} - 1) / 9} um Primzahlen handelt.

In einem meiner Lieblingsbücher, Number Theory in Science and Communication: With Applications in Cryptography, Physics, Digital Information, Computing, and Self-Similarity (Englisch) von Manfred Schroeder werden solche repunits besprochen, damals (ca. 1989) war noch nicht bekannt, ob die Zahl Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (10^{1031} - 1) / 9} prim ist, ich habe vor etlichen Jahren viel Rechenzeit verwendet, um das zu überprüfen und habe ein positives Ergebnis bekommen.