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Latest revision as of 11:06, 17 June 2016

...und wie geht's weiter?

Gegeben sind 7 Werte - die ersten 7 Werte. Gesucht ist eine Regel für die weiteren Werte. Nichts liegt näher, als das über ein Polynom zu lösen. $p(i)$ wobei $i$ die gewünschte Zeile ist. Wir kennen $p(0)$ ... $p(6)$ .

$p(0)=1$
$p(1)=11$
$p(2)=21$
$p(3)=1211$
$p(4)=111221$
$p(5)=312211$
$p(6)=13112221$

Also gesucht ist ein Polynom, das genau das oben stehende erfüllt - sonst nix. Die Suche ist einfach, wenn man andere Polynome addiert. Ich nenne sie $q_{j}(i)$ - dieses Polynom (ich brauche 7 verschiedene solche) hat an der Stelle $j$ den Wert 1 - an den anderen (ganzzahligen) Stellen hat es den Wert 0:

$q_{j}(x)={\prod _{k\in \{0..6\}\setminus j}{(x-k)} \over \prod _{k\in \{0..6\}\setminus j}{(j-k)}}$

Das gesuchte $p(x)$ ist dann bloß die Summe der geeigneten q's mal dem gewünschten Wert an der jeweiligen Stelle:

$p(x)=1\cdot q_{0}(x)+11\cdot q_{1}(x)+21\cdot q_{2}(x)+...+13112221\cdot q_{6}(x)$

$q_{0}(x)={{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)} \over {(0-1)(0-2)(0-3)(0-4)(0-5)(0-6)}}={{x^{6}-21x^{5}+175x^{4}-735x^{3}+1624x^{2}-1764x+720} \over 720}$

$q_{1}(x)={{(x-0)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)} \over {(1-0)(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)(1-6)}}={{x^{6}-20x^{5}+155x^{4}-580x^{3}+1044x^{2}-720x} \over -120}$

$q_{2}(x)={{(x-0)(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)} \over {(2-0)(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)(2-6)}}={{x^{6}-19x^{5}+137x^{4}-461x^{3}+702x^{2}-360x} \over 48}$

$q_{3}(x)={{(x-0)(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)(x-6)} \over {(3-0)(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)(3-6)}}={{x^{6}-18x^{5}+121x^{4}-372x^{3}+508x^{2}-240x} \over -36}$

$q_{4}(x)={{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)} \over {(4-0)(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)(4-6)}}={{x^{6}-17x^{5}+107x^{4}-307x^{3}+396x^{2}-180x} \over 48}$

$q_{5}(x)={{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)} \over {(5-0)(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)(5-6)}}={{x^{6}-16x^{5}+95x^{4}-260x^{3}+324x^{2}-144x} \over -120}$

$q_{6}(x)={{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)} \over {(6-0)(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)}}={{x^{6}-15x^{5}+85x^{4}-225x^{3}+274x^{2}-120x} \over 720}$

So jetzt weden nur mehr die Polynome $q_{j}(x)$ addiert. Das KGV der Nenner ist 720 (das führt dann zu den Faktoren 1,-6,15,-20,15,-6 und 1). Ich addiere die Faktoren vor den Potenzen von x. Das Ergebnis ist folgendes Polynom - die Koefizienten sind in der Tabelle dahinter...

$p(x)={{a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}} \over 720}$

$a_{6}$	$=1\cdot 1$	$+11\cdot (-6)$	$+21\cdot 15$	$+1211\cdot (-20)$	$+111221\cdot 15$	$+312211\cdot (-6)$	$+13112221\cdot 1$	=12.883.300
$a_{5}$	$=1\cdot (-21)$	$+11\cdot (-6)\cdot (-20)$	$+21\cdot 15\cdot (-19)$	$+1211\cdot (-20)\cdot (-18)$	$+111221\cdot 15\cdot (-17)$	$+312211\cdot (-6)\cdot (-16)$	$+13112221\cdot (-15)$	=-194.641.140
$a_{4}$	$=1\cdot 175$	$+11\cdot (-6)\cdot 155$	$+21\cdot 15\cdot 137$	$+1211\cdot (-20)\cdot 121$	$+111221\cdot 15\cdot 107$	$+312211\cdot (-6)\cdot 95$	$+13112221\cdot 85$	=1.112.190.700
$a_{3}$	$=1\cdot (-735)$	$+11\cdot (-6)\cdot (-580)$	$+21\cdot 15\cdot (-461)$	$+1211\cdot (-20)\cdot (-372)$	$+111221\cdot 15\cdot (-307)$	$+312211\cdot (-6)\cdot (-260)$	$+13112221\cdot (-225)$	=-2.966.471.100
$a_{2}$	$=1\cdot 1624$	$+11\cdot (-6)\cdot 1044$	$+21\cdot 15\cdot 702$	$+1211\cdot (-20)\cdot 508$	$+111221\cdot 15\cdot 396$	$+312211\cdot (-6)\cdot 324$	$+13112221\cdot 274$	=3.634.313.200
$a_{1}$	$=1\cdot (-1764)$	$+11\cdot (-6)\cdot (-720)$	$+21\cdot 15\cdot (-360)$	$+1211\cdot (-20)\cdot (-240)$	$+111221\cdot 15\cdot (-180)$	$+312211\cdot (-6)\cdot (-144)$	$+13112221\cdot (-120)$	=-1.598.267.760
$a_{0}$								=720

$p(x)={{12.883.300x^{6}-194.641.140x^{5}+1.112.190.700x^{4}-2.966.471.100x^{3}+3.634.313.200x^{2}-1.598.267.760x+720} \over 720}$

Das Polynom ist so konstruiert, dass für p(0) .. p(6) die oben angegebenen Werte herauskommen. Die Frage "wie geht's weiter?" lässt sich mit p(x) so beantworten:

$p(7)=89.079.831$
$p(8)=355.262.121$
$p(9)=1.066.485.931$
...

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 Also gesucht ist ein Polynom, das genau das oben stehende erfüllt - sonst nix. Die Suche ist einfach, wenn man andere Polynome addiert. Ich nenne sie <math>q_j(i)</math> - dieses Polynom (ich brauche 7 verschiedene solche) hat an der Stelle <math>j</math> den Wert 1 - an den anderen (ganzzahligen) Stellen hat es den Wert 0:
-<math>q_j(x) = { \prod_{k \in \{0 ..  6\} -  j}{(x-k)} \over \prod_{k \in \{0 ..  6\} -  j}{(j-k)}}</math><br/>
+<math>q_j(x) = { \prod_{k \in \{0 ..  6\} \setminus j}{(x-k)} \over \prod_{k \in \{0 ..  6\} \setminus j}{(j-k)}}</math><br/>
-Das gesuchte <math>p(x)</math> ist dann blos die Summe der geiegneten q's mal dem gewünschten Wert an der jeweiligen Stelle:
+Das gesuchte <math>p(x)</math> ist dann bloß die Summe der geeigneten q's mal dem gewünschten Wert an der jeweiligen Stelle:
 <math>p(x) = 1\cdot q_0(x) + 11 \cdot q_1(x) + 21 \cdot q_2(x) + ... + 13112221 \cdot q_6(x)</math><br/>
 <br/>
 <math>q_0(x)={{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)} \over { (0-1)(0-2)(0-3)(0-4)(0-5)(0-6)}} = {{x^6-21x^5+175x^4-735x^3+1624x^2-1764x+720}\over 720}</math><br/><br/>
-<math>q_1(x)={{(x-0)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)} \over {(1-0)(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)(1-6)}}={{x^6-20x^5+155x^4-580x^3+1440x^2-720x}\over -120}</math><br/><br/>
+<math>q_1(x)={{(x-0)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)} \over {(1-0)(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)(1-6)}}={{x^6-20x^5+155x^4-580x^3+1044x^2-720x}\over -120}</math><br/><br/>
 <math>q_2(x)={{(x-0)(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)}\over {(2-0)(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)(2-6)}}={{x^6-19x^5+137x^4-461x^3+702x^2-360x}\over 48 }</math><br/><br/>
 <math>q_3(x)={{(x-0)(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)(x-6)}\over {(3-0)(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)(3-6)}}={{x^6-18x^5+121x^4-372x^3+508x^2-240x}\over -36}</math><br/><br/>
@@ Line 28: / Line 28: @@
 <math>q_5(x)={{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)}\over {(5-0)(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)(5-6)}}={{x^6-16x^5+95x^4-260x^3+324x^2-144x}\over -120}</math><br/><br/>
 <math>q_6(x)={{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}\over{(6-0)(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)}}={{x^6-15x^5+85x^4-225x^3+274x^2-120x}\over 720}</math><br/><br/>
+So jetzt weden nur mehr die Polynome <math>q_j(x)</math> addiert. Das KGV der Nenner ist 720 (das führt dann zu den Faktoren 1,-6,15,-20,15,-6 und 1). Ich addiere die Faktoren vor den Potenzen von x. Das Ergebnis ist folgendes Polynom - die Koefizienten sind in der Tabelle dahinter...
+<math>p(x)={{a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0}\over 720}</math><br/><br/>
+{|
+|<math>a_6</math>
+|<math>= 1        \cdot 1</math>
+|<math>+ 11       \cdot (-6)</math>
+|<math>+ 21       \cdot 15</math>
+|<math>+ 1211     \cdot (-20)</math>
+|<math>+ 111221   \cdot 15</math>
+|<math>+ 312211   \cdot (-6)</math>
+|<math>+ 13112221 \cdot 1</math>
+|=12.883.300
+|-
+|<math>a_5</math>
+|<math>= 1        \cdot             (-21)</math>
+|<math>+ 11       \cdot (-6)  \cdot (-20)</math>
+|<math>+ 21       \cdot 15    \cdot (-19)</math>
+|<math>+ 1211     \cdot (-20) \cdot (-18)</math>
+|<math>+ 111221   \cdot 15    \cdot (-17)</math>
+|<math>+ 312211   \cdot (-6)  \cdot (-16)</math>
+|<math>+ 13112221 \cdot             (-15)</math>
+|=-194.641.140
+|-
+|<math>a_4</math>
+|<math>= 1        \cdot             175</math>
+|<math>+ 11       \cdot (-6)  \cdot 155</math>
+|<math>+ 21       \cdot 15    \cdot 137</math>
+|<math>+ 1211     \cdot (-20) \cdot 121</math>
+|<math>+ 111221   \cdot 15    \cdot 107</math>
+|<math>+ 312211   \cdot (-6)  \cdot 95</math>
+|<math>+ 13112221 \cdot             85</math>
+|=1.112.190.700
+|-
+|<math>a_3</math>
+|<math>= 1        \cdot             (-735)</math>
+|<math>+ 11       \cdot (-6)  \cdot (-580)</math>
+|<math>+ 21       \cdot 15    \cdot (-461)</math>
+|<math>+ 1211     \cdot (-20) \cdot (-372)</math>
+|<math>+ 111221   \cdot 15    \cdot (-307)</math>
+|<math>+ 312211   \cdot (-6)  \cdot (-260)</math>
+|<math>+ 13112221 \cdot             (-225)</math>
+|=-2.966.471.100
+|-
+|<math>a_2</math>
+|<math>= 1        \cdot             1624</math>
+|<math>+ 11       \cdot (-6)  \cdot 1044</math>
+|<math>+ 21       \cdot 15    \cdot 702</math>
+|<math>+ 1211     \cdot (-20) \cdot 508</math>
+|<math>+ 111221   \cdot 15    \cdot 396</math>
+|<math>+ 312211   \cdot (-6)  \cdot 324</math>
+|<math>+ 13112221 \cdot             274</math>
+|=3.634.313.200
+|-
+|<math>a_1</math>
+|<math>= 1        \cdot             (-1764)</math>
+|<math>+ 11       \cdot (-6)  \cdot (-720)</math>
+|<math>+ 21       \cdot 15    \cdot (-360)</math>
+|<math>+ 1211     \cdot (-20) \cdot (-240)</math>
+|<math>+ 111221   \cdot 15    \cdot (-180)</math>
+|<math>+ 312211   \cdot (-6)  \cdot (-144)</math>
+|<math>+ 13112221 \cdot             (-120)</math>
+|=-1.598.267.760
+|-
+|<math>a_0</math>
+|
+|
+|
+|
+|
+|
+|
+|=720
+|-
+|}
+<math>p(x)={{12.883.300 x^6 -194.641.140 x^5 + 1.112.190.700 x^4 -2.966.471.100 x^3 + 3.634.313.200 x^2 -1.598.267.760 x + 720}\over 720}</math><br/>
+Das Polynom ist so konstruiert, dass für p(0) .. p(6) die oben angegebenen Werte herauskommen. Die Frage "wie geht's weiter?" lässt sich mit p(x) so beantworten:
+<math>p(7)=89.079.831</math><br/>
+<math>p(8)=355.262.121</math><br/>
+<math>p(9)=1.066.485.931</math><br/>
+...<br/><br/>

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