Difference between revisions of "NMMRUS 146 Loesung"

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<math>x_2={a\over{1+{v_A\over v_K}}}</math><br/>
 
<math>x_2={a\over{1+{v_A\over v_K}}}</math><br/>
  
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Die Antwort aud die Frage ist <math>x=x_1+x_2</math>.  
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Die Antwort auf die Frage ist <math>x=x_1+x_2</math>.  
  
 
<math>x={a\over{1-{v_A\over v_K}}} + {a\over{1+{v_A\over v_K}}}</math><br/><br/>
 
<math>x={a\over{1-{v_A\over v_K}}} + {a\over{1+{v_A\over v_K}}}</math><br/><br/>
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<math>a=x\cdot q</math><br/><br/>
 
<math>a=x\cdot q</math><br/><br/>
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<math>a={{2aq}\over{1-q^2}}</math><br/>
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<math>a={{2a\cdot q}\over{1-q^2}}</math><br/>
  
 
Da sieht man jetzt auch schön, dass die Länge der Armee für die Berechnung des Quotienten irrelevant ist, denn man kann durch a kürzen:
 
Da sieht man jetzt auch schön, dass die Länge der Armee für die Berechnung des Quotienten irrelevant ist, denn man kann durch a kürzen:
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Das heißt, dass der Kurier eine Strecke zurücklegt, die aus einer Seitenlänge plus der Diagonale des Quadrates mit der Seitenlänge a entspricht.
 
Das heißt, dass der Kurier eine Strecke zurücklegt, die aus einer Seitenlänge plus der Diagonale des Quadrates mit der Seitenlänge a entspricht.
  
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<math>x \approx 50 Mi \cdot 2.41</math><br/>
 
<math>x \approx 120.71 Mi</math><br/>
 
<math>x \approx 120.71 Mi</math><br/>
  
 
== erweiterte (zweidimensionale) Variante ==
 
== erweiterte (zweidimensionale) Variante ==
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[[Image:NMMRUS_146b.gif]]
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Laut Angabe reitet der Kurier von der Mitte der hinteren Linie weg (so wie in der animierten Skizze oben gezeigt). Es kommt aber ganz genau das gleiche heraus, wenn der Kurier von einer "Ecke" wegreitet - er muss die gleiche Strecke bewältigen und es sind weniger Abschnitte zu rechnen.
 
Laut Angabe reitet der Kurier von der Mitte der hinteren Linie weg (so wie in der animierten Skizze oben gezeigt). Es kommt aber ganz genau das gleiche heraus, wenn der Kurier von einer "Ecke" wegreitet - er muss die gleiche Strecke bewältigen und es sind weniger Abschnitte zu rechnen.
  
 
Der Abschnitt 1 ist jener an der hinteren und vorderen Flanke. Das Reiten an der hinteren und vorderen Flanke ist prinzipiell gleich. Der Abschnitt 2 ist jener, wo der Kurier in die gleiche Richtung, wie die Armee reitet. Der Abschnitt 3 ist jener, wo der Kurier entgegen der Richtung der Armee reitet.
 
Der Abschnitt 1 ist jener an der hinteren und vorderen Flanke. Das Reiten an der hinteren und vorderen Flanke ist prinzipiell gleich. Der Abschnitt 2 ist jener, wo der Kurier in die gleiche Richtung, wie die Armee reitet. Der Abschnitt 3 ist jener, wo der Kurier entgegen der Richtung der Armee reitet.
  
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Wir wissen schon aus der einfacheren Aufgabenstellung oben, dass wir niemals die Geschwindigkeiten der Armee und des Kuriers ermitteln können. Zum Rechnen brauchen wir kurz <math>v_K</maht> und <math>v_A</math> - die Geschwindigkeiten von Kurier und Armee. Ermittelt kann nur das Verhältnis zwischen Armeegeschwindigkeit und Kuriergeschwindigkeit werden.
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Wir wissen schon aus der einfacheren Aufgabenstellung oben, dass wir niemals die Geschwindigkeiten der Armee und des Kuriers ermitteln können. Zum Rechnen brauchen wir kurz <math>v_K</math> und <math>v_A</math> - die Geschwindigkeiten von Kurier und Armee. Ermittelt kann nur das Verhältnis zwischen Armeegeschwindigkeit und Kuriergeschwindigkeit werden.
  
 
<math>q = {v_A \over v_K}</math><br/>
 
<math>q = {v_A \over v_K}</math><br/>
 
<math>v_A = q \cdot v_K</math>
 
<math>v_A = q \cdot v_K</math>
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=== Abschnitt 1 ===
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[[Image:NMMRUS_146c.png]]
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Der Abschnitt 1 ist der, wo der Kurier "schräg" reitet. Das ganze ist ein rechtwinkeliges Dreieck dessen Hypertonuse, der zurückgelegte Weg des Kuriers <math>v_K\cdot t_1</math>, dessen eine Kathete, der zurückgelegte Weg der Armee <math>v_A\cdot t_1</math> und dessen zweite Kathete die Breite der Armee <math>a</math> ist.
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<math>(v_K\cdot t_1)^2 = (v_A\cdot t_1)^2 + a^2</math>
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Das <math>v_A</math> wird durch <math>v_K\cdot q</math> ersetzt.
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<math>(v_K\cdot t_1)^2 = (v_K\cdot q\cdot t_1)^2 + a^2</math><br/>
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<math>(v_K\cdot t_1)^2 - (v_K\cdot t_1\cdot q)^2 = a^2</math><br/>
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<math>(v_K\cdot t_1)^2 \cdot (1 - q^2) = a^2</math><br/>
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<math>v_K^2 \cdot t_1^2 \cdot (1 - q^2) = a^2</math><br/>
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<math>t_1^2 = {a^2 \over v_K^2} \cdot {1 \over {1 - q^2}}</math><br/>
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<math>t_1 = {a \over v_K} \cdot {1 \over \sqrt{1 - q^2}}</math><br/>
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=== Abschnitt 2 ===
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Im Abschnitt 2 reitet der Kurier in die gleiche Richtung wie die Armee. Der Kurier reitet vom hinteren Ende der Armee zum vorderen, dabei läuft ihm das vordere Ende davon. Das vordere Ende hat definitionsgemäß einen Vorsprung von <math>a</math>.
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<math>v_K\cdot t_2 = v_A\cdot t_2 + a</math><br/>
 +
<math>v_K\cdot t_2 = v_K\cdot q\cdot t_2 + a</math><br/>
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<math>v_K\cdot t_2 - v_K\cdot t_2\cdot q = a</math><br/>
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<math>v_K\cdot t_2\cdot (1 - q) = a</math><br/>
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<math>t_2 = {a \over v_K} \cdot {1 \over {1 - q}}</math>
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Im Zeitablauf reitet der Kurier die Hypotenuse des gleichen Dreiecks wie im Abschnitt 1.
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=== Abschnitt 3 ===
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Im Abschnitt 3 reitet der Kurier von der vorderen Flanke zur Hinteren, dabei kommt ihm die hintere Flanke entgegen, die zu Beginn a von ihm entfernt ist.
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<math>v_K\cdot t_3 + v_A\cdot t_3 = a</math><br/>
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<math>v_K\cdot t_3 + v_K\cdot q\cdot t_3 = a</math><br/>
 +
<math>v_K\cdot t_3 \cdot (1 + q) = a</math><br/>
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<math>t_3 = {a \over v_K} \cdot {1 \over {1 + q}}</math>
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=== Alle Abschnitte zusammen ===
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Die Zeiten <math>t_1, t_2, t_3</math> brauchen wir um die Gesamtzeit auszudrücken, die der ganze Vorgang dauert. Die Zeit <math>t_1</math> kommt zwei Mal vor: einmal bei der hinteren Flanke und einmal bei der vorderen Flanke. Die Gesamtzeit ist somit <math>2\cdot t_1 + t_2 + t_3</math>. Das ist genau jene Zeit, die die Armee benötigt um ihre eigene Länge abzuschreiten. Somit:
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<math>a = v_A\cdot (2\cdot t_1 + t_2 + t_3)</math>
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Jetzt setzen wir alles ein, was wir schon wissen:
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<math>a = v_K\cdot q\cdot {a \over v_K} \big ({2 \over \sqrt{1 - q^2}} + {1 \over {1 - q}} + {1 \over {1 + q}} \big )</math>
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Das <math>v_K</math> kürzt sich weg - beide Seiten können durch <math>a</math> gekürzt werden - das einsame <math>q</math> vor der Klammer kommt auf die andere Seite:
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<math>{1 \over q} = {2 \over \sqrt{1 - q^2}} + {1 \over {1 - q}} + {1 \over {1 + q}}</math>
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Die Summe auf der rechten Seite bekommt einen gemeinsamen Nenner - wir wissen, dass <math>(1-q)\cdot(1+q) = 1 - q^2</math> ist.
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<math>{1 \over q} = {{2\cdot(1-q^2) + \sqrt{1 - q^2}\cdot(1 + q) + \sqrt{1 - q^2}\cdot(1 - q)} \over {\sqrt{1 - q^2}\cdot(1 - q^2)}}</math>
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Das <math>\sqrt{1 - q^2}</math> stört ein wenig - es kommt aber in jedem der Summanden oberhalb des Bruches vor, denn <math>(1 - q^2) = \sqrt{1 - q^2}\cdot \sqrt{1 - q^2}</math> . Man kann also dadurch kürzen - eine Wurzel bleibt aber leider über.
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<math>{1 \over q} = {{2\cdot\sqrt{1 - q^2} + (1+q) + (1-q)} \over {1-q^2}}</math><br/>
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<math>{1 \over q} = {{2\cdot\sqrt{1 - q^2} + 2} \over {1-q^2}}</math>
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Um die Wurzel los zu werden, bringen wir die Wurzel auf eine Seite und quadrieren dann beide Seiten. Durch das Quadrieren, bekommen wir aber zusätzliche Lösungen für q.
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<math>{{1 - q^2}\over q} = 2\cdot \sqrt{1 - q^2} + 2</math><br/>
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<math>{{1 - q^2}\over {2q}} = \sqrt{1 - q^2} + 1</math><br/>
 +
<math>{{1 - q^2}\over {2q}} - 1 = \sqrt{1 - q^2}</math><br/>
 +
<math>{{1 -q^2 - 2q}\over {2q}} = \sqrt{1 - q^2}</math><br>
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<math>\big ({{1 -q^2 - 2q}\over {2q} } \big )^2 = 1 - q^2</math><br>
 +
<math>{{1 + q^4 + 4q^2 - 2q^2 -4q +4q^3}\over {4q^2}} = 1 - q^2</math><br/>
 +
<math>1 + q^4 + 4q^2 - 2q^2 -4q +4q^3 = (1 - q^2)\cdot 4q^2</math><br/>
 +
<math>1 + q^4 + 4q^2 - 2q^2 -4q +4q^3 = 4q^2 - 4q^4</math><br/>
 +
 +
Alles auf eine Seite und Potenzen sortieren:
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<math>5q^4 + 4q^3 -2q^2 -4q + 1 = 0</math>
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=== Nullstellensuche ===
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[[Image:NMMRUS_146d.png]]
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Dieses Polynom vierten Grades hat vier Lösungen - eine davon ist die Lösung für die Aufgabe. Die anderen drei kommen durch die Berechnung dazu (z.B. weil wir um die Wurzel los zu werden quadriert haben). Wenn man sich das Polynom aufzeichnet, dann sieht man, dass es zwei reele und zwei Komplexe Lösungen hat.
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Leider kann (will) ich die Nullstellen dieses Polynoms nicht algebraisch herleiten - wen's interessiert, der kann das ja mit [http://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung wikipedia:Quartische Gleichung] probieren. Ich lasse die zwei reelen Nullstellen von einem Computer-Programm mit dem Newtonverfahren suchen, dabei bekomme ich aber nur Näherungslösungen:
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<math>5q^4 +4q^3 -2q^2 -4q +1 = 0</math><br/>
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<math>q_1 \approx 0.2392</math><br/>
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<math>q_2 \approx 0.7313</math>
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Um herauszufinden, welche der beiden die Richtige Lösung ist, müssen wir nur beide in die ursprüngliche Gleichung einsetzten und sehen, welche sie erfüllt:
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<math>{1 \over q} = {2 \over \sqrt{1 - q^2}} + {1 \over {1 - q}} + {1 \over {1 + q}}</math>
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Es zeigt sich, dass nur das kleinere <math>q_1</math> diese Gleichung erfüllt. Somit ist das gesuchte
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<math>q \approx 0.2392</math>
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Das ist aber nur ein Zwischenergebnis, denn es wurde nicht gefragt um wieviel langsamer die Armee gehen muss als der Kurier reitet (das ist das q) - sondern, welche Strecke der Kurier zurücklegt. Während der Kurier reitet legt die Armee genau die Strecke a zurück. Das q ist der Faktor um den die Armee langsamer ist als der Kurier, darum braucht man bloß a durch q zu dividieren um auf die Strecke, die der Kurier zurücklegt zu bekommen.
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 +
<math>x = {a\over q}</math><br/>
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<math>x \approx a\cdot 4.1811</math><br/>
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<math>x \approx 209.06 Mi</math>
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 +
Der Kurier reitet also insgesamt <math>209.06 Mi</math> bis er die Armee umrundet hat.

Latest revision as of 13:27, 2 February 2014

Welche Strecke bewältigt der Kurier?

zurück zur Aufgabenstellung

Ich rechne die Aufgabe lieber "allgemein" als mit Zahlen - Zahlen kann man am Schluss immer noch einsetzen. So muss man weniger schreiben (außer diesen Absatz) und sieht die Zusammenhänge besser.

Die "Länge" der Armee bzw. die Seitenlänge des Quadrats ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} . Wir wissen schon, dass Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=50 Mi} . Die Geschwindigkeit des Kuriers ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_K} . Die Gewschwindigkeit der Armee ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_A} . Die Stecke, die der Kurier in den einzelnen Abschnitten zurücklegt nenne ich Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i} die Zeit, die er für diesen Abschnitt braucht ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_i} .

einfache (eindimensionale) Variante

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Der Kurier reitet im ersten Abschnitt die Strecke Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1} - während die Armee in der gleiche Zeit die Strcke Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_1-a)} zurücklegt.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1=v_K\cdot t_1}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1-a=v_A\cdot t_1}

Durch "Umformen" entledigen wir uns dem Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_1} und finden das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1} .

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Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1={a\over{1-{v_A\over v_K}}}}

Im Zweiten Abschnitt reitet der Kurier die Strecke Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_2} - während die Armee die Stecke Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a-x_2)} zurücklegt.

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Wieder arbeiten wir das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_2} heraus um das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_2} auszudrücken.

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Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a-x_2=v_A\cdot{x_2\over v_K}}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_2\cdot(1+{v_A\over v_K})=a}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_2={a\over{1+{v_A\over v_K}}}}

Die Antwort auf die Frage ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=x_1+x_2} .

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Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x={{a\cdot(1+{v_A\over v_K}) + a\cdot(1-{v_A\over v_K})}\over{(1-{v_A\over v_K})(1+{v_A\over v_K})}}}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x={{2a}\over{1-({v_A\over v_K})^2}}}

Was uns noch zur endgültigen Beantwortung fehlt ist Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_A} und Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_K} . Dazu hilt uns ein Umstand, den wir noch nicht verwendet haben: Die Armee legt während dem Hin- und Herreiten genau die Strecke Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} zurück. Die exakten Geschwindigkeiten Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_A} und Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_K} sind uninteressant bzw. aus der Aufgabenstellung nicht zu ermitteln. Das einzige worauf es ankommt ist der Quotient aus den Geschwindigkeiten - um wieviel die Armee langsamer vorankommt als der Kurier.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q={v_A\over v_K}}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x={{2a}\over{1-q^2}}}

Dieser Quotient ist auch genau der Faktor um den die zurückgelegte Strecke der Armee kleiner ist als die des Kuriers. Die Strecke der Armee ist die Strecke des Kuriers mal q. Weiters ist die Strecke der Armee gleich ihre Länge:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=x\cdot q}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a={{2a\cdot q}\over{1-q^2}}}

Da sieht man jetzt auch schön, dass die Länge der Armee für die Berechnung des Quotienten irrelevant ist, denn man kann durch a kürzen:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1={{2q}\over{1-q^2}}}

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-q^2=2q}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q^2+2q-1=0}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q_{1,2}=-1\pm \sqrt{1+1}}

Der Quotient ist ganz sicher positiv, darum gibt es nur eine Lösung:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q=\sqrt{2}-1}

Somit ist die Antwort auf die Frage "Welchen Weg legt der Kurier zurück" :

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Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x={{2a}\over{1-(2-2\sqrt{2}+1)}}}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x={{2a}\over{-2+2\sqrt{2}}}}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x={{a}\over{\sqrt{2}-1}}}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x={{a\cdot (\sqrt{2}+1)}\over{(\sqrt{2}-1)\cdot({\sqrt{2}+1})}}}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x={{a\cdot (\sqrt{2}+1)}\over{2-1}}}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=a\cdot (\sqrt{2}+1)}

Das heißt, dass der Kurier eine Strecke zurücklegt, die aus einer Seitenlänge plus der Diagonale des Quadrates mit der Seitenlänge a entspricht.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \approx 50 Mi \cdot 2.41}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \approx 120.71 Mi}

erweiterte (zweidimensionale) Variante

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Laut Angabe reitet der Kurier von der Mitte der hinteren Linie weg (so wie in der animierten Skizze oben gezeigt). Es kommt aber ganz genau das gleiche heraus, wenn der Kurier von einer "Ecke" wegreitet - er muss die gleiche Strecke bewältigen und es sind weniger Abschnitte zu rechnen.

Der Abschnitt 1 ist jener an der hinteren und vorderen Flanke. Das Reiten an der hinteren und vorderen Flanke ist prinzipiell gleich. Der Abschnitt 2 ist jener, wo der Kurier in die gleiche Richtung, wie die Armee reitet. Der Abschnitt 3 ist jener, wo der Kurier entgegen der Richtung der Armee reitet.

Wir wissen schon aus der einfacheren Aufgabenstellung oben, dass wir niemals die Geschwindigkeiten der Armee und des Kuriers ermitteln können. Zum Rechnen brauchen wir kurz Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_K} und Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_A} - die Geschwindigkeiten von Kurier und Armee. Ermittelt kann nur das Verhältnis zwischen Armeegeschwindigkeit und Kuriergeschwindigkeit werden.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q = {v_A \over v_K}}
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Abschnitt 1

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Der Abschnitt 1 ist der, wo der Kurier "schräg" reitet. Das ganze ist ein rechtwinkeliges Dreieck dessen Hypertonuse, der zurückgelegte Weg des Kuriers Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_K\cdot t_1} , dessen eine Kathete, der zurückgelegte Weg der Armee Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_A\cdot t_1} und dessen zweite Kathete die Breite der Armee Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ist.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (v_K\cdot t_1)^2 = (v_A\cdot t_1)^2 + a^2}

Das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_A} wird durch Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_K\cdot q} ersetzt.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (v_K\cdot t_1)^2 = (v_K\cdot q\cdot t_1)^2 + a^2}
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Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (v_K\cdot t_1)^2 \cdot (1 - q^2) = a^2}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_K^2 \cdot t_1^2 \cdot (1 - q^2) = a^2}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_1^2 = {a^2 \over v_K^2} \cdot {1 \over {1 - q^2}}}
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Abschnitt 2

Im Abschnitt 2 reitet der Kurier in die gleiche Richtung wie die Armee. Der Kurier reitet vom hinteren Ende der Armee zum vorderen, dabei läuft ihm das vordere Ende davon. Das vordere Ende hat definitionsgemäß einen Vorsprung von Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} .

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Im Zeitablauf reitet der Kurier die Hypotenuse des gleichen Dreiecks wie im Abschnitt 1.

Abschnitt 3

Im Abschnitt 3 reitet der Kurier von der vorderen Flanke zur Hinteren, dabei kommt ihm die hintere Flanke entgegen, die zu Beginn a von ihm entfernt ist.

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Alle Abschnitte zusammen

Die Zeiten Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_1, t_2, t_3} brauchen wir um die Gesamtzeit auszudrücken, die der ganze Vorgang dauert. Die Zeit Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_1} kommt zwei Mal vor: einmal bei der hinteren Flanke und einmal bei der vorderen Flanke. Die Gesamtzeit ist somit Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\cdot t_1 + t_2 + t_3} . Das ist genau jene Zeit, die die Armee benötigt um ihre eigene Länge abzuschreiten. Somit:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = v_A\cdot (2\cdot t_1 + t_2 + t_3)}

Jetzt setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

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Das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_K} kürzt sich weg - beide Seiten können durch Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} gekürzt werden - das einsame Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} vor der Klammer kommt auf die andere Seite:

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Die Summe auf der rechten Seite bekommt einen gemeinsamen Nenner - wir wissen, dass Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1-q)\cdot(1+q) = 1 - q^2} ist.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {1 \over q} = {{2\cdot(1-q^2) + \sqrt{1 - q^2}\cdot(1 + q) + \sqrt{1 - q^2}\cdot(1 - q)} \over {\sqrt{1 - q^2}\cdot(1 - q^2)}}}

Das Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{1 - q^2}} stört ein wenig - es kommt aber in jedem der Summanden oberhalb des Bruches vor, denn Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1 - q^2) = \sqrt{1 - q^2}\cdot \sqrt{1 - q^2}} . Man kann also dadurch kürzen - eine Wurzel bleibt aber leider über.

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {1 \over q} = {{2\cdot\sqrt{1 - q^2} + (1+q) + (1-q)} \over {1-q^2}}}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {1 \over q} = {{2\cdot\sqrt{1 - q^2} + 2} \over {1-q^2}}}

Um die Wurzel los zu werden, bringen wir die Wurzel auf eine Seite und quadrieren dann beide Seiten. Durch das Quadrieren, bekommen wir aber zusätzliche Lösungen für q.

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Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {{1 -q^2 - 2q}\over {2q}} = \sqrt{1 - q^2}}
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Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 + q^4 + 4q^2 - 2q^2 -4q +4q^3 = (1 - q^2)\cdot 4q^2}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 + q^4 + 4q^2 - 2q^2 -4q +4q^3 = 4q^2 - 4q^4}

Alles auf eine Seite und Potenzen sortieren:

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Nullstellensuche

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Dieses Polynom vierten Grades hat vier Lösungen - eine davon ist die Lösung für die Aufgabe. Die anderen drei kommen durch die Berechnung dazu (z.B. weil wir um die Wurzel los zu werden quadriert haben). Wenn man sich das Polynom aufzeichnet, dann sieht man, dass es zwei reele und zwei Komplexe Lösungen hat. Leider kann (will) ich die Nullstellen dieses Polynoms nicht algebraisch herleiten - wen's interessiert, der kann das ja mit wikipedia:Quartische Gleichung probieren. Ich lasse die zwei reelen Nullstellen von einem Computer-Programm mit dem Newtonverfahren suchen, dabei bekomme ich aber nur Näherungslösungen:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 5q^4 +4q^3 -2q^2 -4q +1 = 0}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q_1 \approx 0.2392}
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Um herauszufinden, welche der beiden die Richtige Lösung ist, müssen wir nur beide in die ursprüngliche Gleichung einsetzten und sehen, welche sie erfüllt:

Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {1 \over q} = {2 \over \sqrt{1 - q^2}} + {1 \over {1 - q}} + {1 \over {1 + q}}}

Es zeigt sich, dass nur das kleinere Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q_1} diese Gleichung erfüllt. Somit ist das gesuchte

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Das ist aber nur ein Zwischenergebnis, denn es wurde nicht gefragt um wieviel langsamer die Armee gehen muss als der Kurier reitet (das ist das q) - sondern, welche Strecke der Kurier zurücklegt. Während der Kurier reitet legt die Armee genau die Strecke a zurück. Das q ist der Faktor um den die Armee langsamer ist als der Kurier, darum braucht man bloß a durch q zu dividieren um auf die Strecke, die der Kurier zurücklegt zu bekommen.

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Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \approx a\cdot 4.1811}
Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \approx 209.06 Mi}

Der Kurier reitet also insgesamt Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 209.06 Mi} bis er die Armee umrundet hat.

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