Nora Math 2013-04-28

Bsp. 35

Maximale Fläche von Grundstück mit 2 runden Ohrwaschln, Abmessungen a,b Zaunlänge = 50m - Umfang U Fläche F.

$U={\frac {3}{2}}b+a+a{\frac {\pi }{2}}+b{\frac {\pi }{4}}$

$U=50$

$[1]\cdots \Rightarrow b={\frac {200-4a-2a\pi }{6+\pi }}$

$F=ab+a^{2}{\frac {\pi }{8}}+b^{2}{\frac {\pi }{32}}$

Einsetzen von [1] in die obige Formel von F und nach ein paar Umformungen von open-axiom (freies Algebra Programm)

$\cdots F={\frac {a^{2}(\pi ^{3}-44\pi -96)+a(-100\pi ^{2}+600\pi +4800)+5000\pi }{4\pi ^{2}+48\pi +144}}$

Nach a ableiten

${\frac {\partial F}{\partial a}}={\frac {a(\pi ^{3}-44\pi -96)-50\pi ^{2}+300\pi +2400}{2\pi ^{2}+24\pi +72}}$

In dieser Form kommt a linear vor, darum gibt es nur eine Lösung, bei der diese Ableitung 0 ist.

$a={\frac {50\pi ^{2}-300\pi -2400}{\pi ^{3}-44\pi -96}}$

Das ist eigentlich schon das Ende - für jene, die Zahlen wollen:

a = 14.0190...

Eine wichtige Frage ist allerdings noch, ob diese (eine) Lösung ein Maximum, ein Minimum oder ein Sattelpunkt ist!

Am einfachsten geht das durch Argumentation: Extremwerte gibt es dort, wo die Ableitung Null ist und am Rand. Je nach Sichtweise, hat diese Aufgabe keinen Rand (!), denn es funktioniert im ganzen $\mathbb {R}$. So gesehen gibt es keinen Rand, für jene, die sich keine negativen Längen und keine negativen Flächen vorstellen können - ist der Rand bei 0.

Die Fläche ist 0, falls a=0 oder wenn b=0 ist. Falls man bei 0 einen "Rand" wahrnimmt, dann ist die Fläche am Rand gleich 0 - also sehr klein (Achtung nicht negativ - negative Zahlen sind kleiner).

Für alle anderen Werte a>0 und b>0 (ACHTUNG nicht alle positiven Werte für a ergeben auch positive Werte für b) ist die Fläche positiv und somit größer als 0 => der gefundene Extremwert für a=14.019 muss ein Maximum sein. Wäre es ein Sattelpunkt, dann müsste es noch einen Wert geben, der dann das Maximum wäre - einen weiteren Wert gibt es aber nicht, da es nur eine Lösung für a gibt.