NMMRUS 146 Loesung

Welche Strecke bewältigt der Kurier?

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Ich rechne die Aufgabe lieber "allgemein" als mit Zahlen - Zahlen kann man am Schluss immer noch einsetzen. So muss man weniger schreiben (außer diesem Absatz) uns sieht die Zusammenhänge besser.

Die "Länge" der Armee bzw. die Seitenlänge des Quadrats ist $a$. Wir wissen schon, dass $a=50Mi$. Die Geschwindigkeit des Kuriers ist $v_{K}$. Die Gewschwindigkeit der Armee ist $v_{A}$. Die Stecke, die der Kurier in den einzelnen Abschnitten zurücklegt nenne ich $x_{i}$ die Zeit, die er für diesen Abschnitt braucht ist $t_{i}$.

einfache (eindimensionale) Variante

Der Kurier reitet im ersten Abschnitt die Strecke $x_{1}$ - während die Armee in der gleiche Zeit die Strcke $(x_{1}-a)$ zurücklegt.

$x_{1}=v_{K}\cdot t_{1}$
$x_{1}-a=v_{A}\cdot t_{1}$

Durch "Umformen" entledigen wir uns dem $t_{1}$ und finden das $x_{1}$.

$t_{1}={x_{1} \over v_{K}}$
$x_{1}-a=v_{A}\cdot {x_{1} \over v_{K}}$
$x_{1}\cdot (1-{v_{A} \over v_{K}})=a$
$x_{1}={a \over {1-{v_{A} \over v_{K}}}}$

Im Zweiten Abschnitt reitet der Kurier die Strecke $x_{2}$ - während die Armee die Stecke $(a-x_{2})$ zurücklegt.

$x_{2}=v_{K}\cdot t_{2}$
$a-x_{2}=v_{A}\cdot t_{2}$

Wieder arbeiten wir das $t_{2}$ heraus um das $x_{2}$ auszudrücken.

$t_{2}={x_{2} \over v_{K}}$
$a-x_{2}=v_{A}\cdot {x_{2} \over v_{K}}$
$x_{2}\cdot (1+{v_{A} \over v_{K}})=a$
$x_{2}={a \over {1+{v_{A} \over v_{K}}}}$

Die Antwort aud die Frage ist $x=x_{1}+x_{2}$.

$x={a \over {1-{v_{A} \over v_{K}}}}+{a \over {1+{v_{A} \over v_{K}}}}$

$x={{a\cdot (1+{v_{A} \over v_{K}})+a\cdot (1-{v_{A} \over v_{K}})} \over {(1-{v_{A} \over v_{K}})(1+{v_{A} \over v_{K}})}}$

$x={{2a} \over {1-({v_{A} \over v_{K}})^{2}}}$

Was uns noch zur endgültigen Beantwortung fehlt ist $v_{A}$ und $v_{K}$. Dazu hilt uns ein Umstand, den wir noch nicht verwendet haben: Die Armee legt während dem Hin- und Herreiten genau die Strecke $a$ zurück. Die exakten Geschwindigkeiten $v_{A}$ und $v_{K}$ sind uninteressant bzw. aus der Aufgabenstellung nicht zu ermitteln. Das einzige worauf es ankommt ist der Quotient aus den Geschwindigkeiten - um wieviel die Armee langsamer vorankommt als der Kurier.

$q={v_{A} \over v_{K}}$

$x={{2a} \over {1-q^{2}}}$

Dieser Quotient ist auch genau der Faktor um den die zurückgelegte Strecke der Armee kleiner ist als die des Kuriers. Die Strecke der Armee ist die Strecke des Kuriers mal q. Weiters ist die Strecke der Armee gleich ihre Länge:

$a=x\cdot q$

$a={{2aq} \over {1-q^{2}}}$

Da sieht man jetzt auch schön, dass die Länge der Armee für die Berechnung des Quotienten irrelevant ist, denn man kann durch a kürzen:

$1={{2q} \over {1-q^{2}}}$

$1-q^{2}=2q$
$q^{2}+2q-1=0$
$q_{1,2}=-1\pm {\sqrt {1+1}}$

Der Quotient ist ganz sicher positiv, darum gibt es nur eine Lösung:

$q={\sqrt {2}}-1$

Somit ist die Antwort auf die Frage "Welchen Weg legt der Kurier zurück" :

$x={{2a} \over {1-({\sqrt {2}}-1)^{2}}}$
$x={{2a} \over {1-(2-2{\sqrt {2}}+1)}}$
$x={{2a} \over {-2+2{\sqrt {2}}}}$
$x={{a} \over {{\sqrt {2}}-1}}$
$x={{a\cdot ({\sqrt {2}}+1)} \over {({\sqrt {2}}-1)\cdot ({{\sqrt {2}}+1})}}$
$x={{a\cdot ({\sqrt {2}}+1)} \over {2-1}}$
$x=a\cdot ({\sqrt {2}}+1)$