Difference between revisions of "Jan Math 2008-12-05"

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<math>y' cosx = -y sinx</math><br/>
 
<math>y' cosx = -y sinx</math><br/>
 
<math>{dy \over dx} cosx = -y sinx</math> (* dx / cosx / y)<br/>
 
<math>{dy \over dx} cosx = -y sinx</math> (* dx / cosx / y)<br/>
<math>{1 \over y} dy = { sinx \over cosx } dx</math> (integrieren)<br/>
+
<math>{1 \over y} dy = { -sinx \over cosx } dx</math> (integrieren)<br/>
<math>lny=ln({2 \over {1 + cosx}}) - ln(-{{2 cosx} \over {1 + cosx}}) +c_1=ln({-1 \over cosx})+c_1</math> (e^ <math>c_2=e^{c_1}</math>)<br/>
+
 
<math>y = c_2{-1 \over cosx}</math> (<math>c_3=-c_2</math>)<br/>
+
<math>lny=-ln({2 \over {1 + cosx}}) + ln(-{{2 cosx} \over {1 + cosx}}) +c_1=ln(cosx)+c_1</math> (e^ <math>c_2=e^{c_1}</math>)<br/>
<math>y={c_3 \over cosx}</math><br/>
+
<math>y = c_2 cosx</math><br/>
 
Probe:<br/>
 
Probe:<br/>
<math>y'=c_3 {sinx \over cosx}</math><br/>
+
<math>y'=c_2 -sinx</math><br/>
<math>y' cosx = c_3 sinx</math><br/>
+
<math>y' cosx = c_2 -sinx cosx</math><br/>
<math>y sinx = c_3 {sin^2 x \over cosx}</math><br/>
+
<math>y sinx = c_2 sinx cosx}</math><br/>
<math>y' cosx + y sinx = c_3 ({{sinx cosx + sin^2 x} \over cosx})</math><br/>
+
<math>y' cosx + y sinx = c_3 (-sinx cosx + sinx cosx) = 0</math><br/>

Revision as of 12:02, 4 December 2008

allgemein

homogene DGL
(oder auch höhere Ableitungen von y)
inhomogene DGL

Gelöst witd zuerst die homogene DGL - die Lösung der inhomogenen ist eine (irgend eine) Löung der inhomogenen plus die allgemeine Löung der homogenen

- 4.1 d)


- homogene -

D.h. y zweimal differenziert ist 0, da kann y maximal x sein (Polynom ersten Grades). Homogene Lösung (allgemein)

- spezielle Lösung -

Einfach zweimal integrieren:

(kein +C, da man ja nur eine spezielle Lösung sucht!)

- Gesamtlösung -


(a,b beliebig)

- 4.1 e)


- homogene -


- spezielle -



- Gesamtlösung -


- 4.1 f)


- homogene (wie schon zwei Mal) -

- spezeille -




- Gesmatlösung -

- 4.2 c)




- allgemein -






[1]
[2]
Jetzt in [2] laut Anfangsbedingung einsetzen:


Jetzt in [1] laut Anfangsbedingung einsetzen:




- 4.2 d)




- allgemein -





[1]
[2]
Einsetzen in [2]


Einsetzen in [1]



- 4.3 a)









Einsetzen y(0)=1


Einsetzen y6)=1





- 4.3 b)









Einsetzen => lineares Gleichungssystem:


[1]


[2]
Subtrahiere [1] von [2]


Einsetzen in [1]



- 4.4

Vorläufig aufgeschoben...  ? Biegung ?

-4.7 g)



(* dx / )
(integrieren)


Probe:


passt

- 4.7 h)



(* dx / cosx / y)
(integrieren)

(e^ )

Probe:


Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y sinx = c_2 sinx cosx}}