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== Welche Strecke bewältigt der Kurier? ==

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Ich rechne die Aufgabe lieber "allgemein" als mit Zahlen - Zahlen kann man am Schluss immer noch einsetzen. So muss man weniger schreiben (außer diesen Absatz) und sieht die Zusammenhänge besser.

Die "Länge" der Armee bzw. die Seitenlänge des Quadrats ist <math>a</math>. Wir wissen schon, dass <math>a=50 Mi</math>. Die Geschwindigkeit des Kuriers ist <math>v_K</math>. Die Gewschwindigkeit der Armee ist <math>v_A</math>. Die Stecke, die der Kurier in den einzelnen Abschnitten zurücklegt nenne ich <math>x_i</math> die Zeit, die er für diesen Abschnitt braucht ist <math>t_i</math>.

== einfache (eindimensionale) Variante ==

Der Kurier reitet im ersten Abschnitt die Strecke <math>x_1</math> - während die Armee in der gleiche Zeit die Strcke <math>(x_1-a)</math> zurücklegt.

<math>x_1=v_K\cdot t_1</math><br/>
<math>x_1-a=v_A\cdot t_1</math><br/>

Durch "Umformen" entledigen wir uns dem <math>t_1</math> und finden das <math>x_1</math>.

<math>t_1={x_1\over v_K}</math><br/>
<math>x_1-a=v_A\cdot {x_1\over v_K}</math><br/>
<math>x_1\cdot (1-{v_A\over v_K})=a</math><br/>
<math>x_1={a\over{1-{v_A\over v_K}}}</math><br/>

Im Zweiten Abschnitt reitet der Kurier die Strecke <math>x_2</math> - während die Armee die Stecke <math>(a-x_2)</math> zurücklegt.

<math>x_2=v_K\cdot t_2</math><br/>
<math>a-x_2=v_A\cdot t_2</math><br/>

Wieder arbeiten wir das <math>t_2</math> heraus um das <math>x_2</math> auszudrücken.

<math>t_2={x_2\over v_K}</math><br/>
<math>a-x_2=v_A\cdot{x_2\over v_K}</math><br/>
<math>x_2\cdot(1+{v_A\over v_K})=a</math><br/>
<math>x_2={a\over{1+{v_A\over v_K}}}</math><br/>

Die Antwort aud die Frage ist <math>x=x_1+x_2</math>. 

<math>x={a\over{1-{v_A\over v_K}}} + {a\over{1+{v_A\over v_K}}}</math><br/><br/>
<math>x={{a\cdot(1+{v_A\over v_K}) + a\cdot(1-{v_A\over v_K})}\over{(1-{v_A\over v_K})(1+{v_A\over v_K})}}</math><br/><br/>
<math>x={{2a}\over{1-({v_A\over v_K})^2}}</math><br/>

Was uns noch zur endgültigen Beantwortung fehlt ist <math>v_A</math> und <math>v_K</math>. Dazu hilt uns ein Umstand, den wir noch nicht verwendet haben: Die Armee legt während dem Hin- und Herreiten genau die Strecke <math>a</math> zurück. Die exakten Geschwindigkeiten <math>v_A</math> und <math>v_K</math> sind uninteressant bzw. aus der Aufgabenstellung nicht zu ermitteln. Das einzige worauf es ankommt ist der Quotient aus den Geschwindigkeiten - um wieviel die Armee langsamer vorankommt als der Kurier.

<math>q={v_A\over v_K}</math><br/><br/>
<math>x={{2a}\over{1-q^2}}</math><br/>

Dieser Quotient ist auch genau der Faktor um den die zurückgelegte Strecke der Armee kleiner ist als die des Kuriers. Die Strecke der Armee ist die Strecke des Kuriers mal q. Weiters ist die Strecke der Armee gleich ihre Länge:

<math>a=x\cdot q</math><br/><br/>
<math>a={{2aq}\over{1-q^2}}</math><br/>

Da sieht man jetzt auch schön, dass die Länge der Armee für die Berechnung des Quotienten irrelevant ist, denn man kann durch a kürzen:

<math>1={{2q}\over{1-q^2}}</math><br/><br/>
<math>1-q^2=2q</math><br/>
<math>q^2+2q-1=0</math><br/>
<math>q_{1,2}=-1\pm \sqrt{1+1}</math><br/>

Der Quotient ist ganz sicher positiv, darum gibt es nur eine Lösung:

<math>q=\sqrt{2}-1</math><br/>

Somit ist die Antwort auf die Frage "Welchen Weg legt der Kurier zurück" :

<math>x={{2a}\over{1-(\sqrt{2}-1)^2}}</math><br/>
<math>x={{2a}\over{1-(2-2\sqrt{2}+1)}}</math><br/>
<math>x={{2a}\over{-2+2\sqrt{2}}}</math><br/>
<math>x={{a}\over{\sqrt{2}-1}}</math><br/>
<math>x={{a\cdot (\sqrt{2}+1)}\over{(\sqrt{2}-1)\cdot({\sqrt{2}+1})}}</math><br/>
<math>x={{a\cdot (\sqrt{2}+1)}\over{2-1}}</math><br/>
<math>x=a\cdot (\sqrt{2}+1)</math><br/>

Das heißt, dass der Kurier eine Strecke zurücklegt, die aus einer Seitenlänge plus der Diagonale des Quadrates mit der Seitenlänge a entspricht.

<math>x \approx 120.71 Mi</math><br/>

== erweiterte (zweidimensionale) Variante ==